thumb|Punctul în roșu al graficului funcției asociat unicului punct șa al său .

În matematică, un punct șa (în ) al unei funcții definite pe un produs cartezian a două mulțimi și este un punct în așa fel încât: atinge un maxim în pe ; iar atinge un minim în pe .

Unii autori inversează maximele și minimele ( cu un minim în și cu un maxim în ), dar aceasta nu schimbă cantitativ rezultatele (se poate reveni la cazul prezent prin schimbare de variabile).

Termenul punct șa se referă la forma de șa de cal pe care o ia graficul funcției când și sunt intervale din . În terminologia din limba franceză se utilizează denumirea de punct trecătoare, cu referire la imaginea unei trecători din munte.

Într-o dimensiune, un punct șa este un punct de inflexiune care este și punct staționar.

Mai general, un punct șa pentru o funcție este un punct staționar în vecinătatea căreia curba nu se află doar pe o parte a hiperplanului tangent.

Noțiunea de punct șa intervine: în optimizare, concept care permite enunțarea unor condiții care asigură existența unei soluții primare duale; în teoria jocurilor, puncte șa în matricile de câștig; pentru determinarea unor soluții particulare ale unor ecuații care nu sunt de minim sau maxim.

Definiție Iată o definiție destul de generală a noțiunii de punct șa a unei funcții definite pe un produs cartezian de mulțimi. Nicio structură nu este cerută pe aceste mulțimi. Funcția trebuie din contra să-și ia valorile în mulțimea numerelor reale (sau mai general în dreapta reală încheiată ).

TeoremăPunct șa Fie și două mulțimi și o funcție care poate lua valorile . Se spune că este un punct-șa al pe dacă

În condițiile de mai sus, este numită valoarea șa a .

Altfel spus, atinge un maximum în pe și atinge un minimum în pe . Nimic nu este cerut în afara crucii , astfel încât imaginea șeii să poată fi înșelătoare ca atunci când este definită de (toate punctele de pe axele de ordonate sunt puncte șa).

Referințe și note

Bibliografie H. Brézis (1973), Opérateurs Maximaux Monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert. Mathematics Studies 5. North-Holland, Amsterdam. . M. Sion (1958), « On general minimax theorems », Pacific Journal of Mathematics 8, 171-176.

Legături externe

Categorie:Calcul diferențial și integral cu variabile multiple Categorie:Geometrie analitică Categorie:Teoria stabilității