miniatura| Popularul cub al lui Rubik, inventat în 1974 de Ernő Rubik, a fost folosit ca o ilustrare a . În matematică și algebra abstractă, teoria grupurilor studiază structurile algebrice cunoscute sub denumirea de grupuri. Conceptul de grup este unul central în algebra abstractă: alte structuri algebrice bine cunoscute, cum ar fi inelele, corpurile și spațiile vectoriale, pot fi văzute ca grupuri înzestrate cu operații și axiome suplimentare. Grupurile sunt recurente în toată matematica, iar metodele teoriei grupurilor au influențat multe părți din algebră. și grupurile Lie sunt două ramuri ale teoriei grupurilor, în care s-au înregistrat progrese și care au devenit ele însele subiecte de subdomenii.
Matematicienii fondatori ai teoriei grupurilor sunt Augustin Louis Cauchy, Evariste Galois, Lagrange, Camille Jordan, Arthur Cayley.
Diferite sisteme fizice, cum ar fi cristalele și atomul de hidrogen, pot fi modelate prin grupuri de simetrie. Astfel, teoria grupurilor și teoria reprezentării, strâns legată de ea, au multe aplicații importante în fizică, chimie și știința materialelor. Teoria grupurilor este de asemenea centrală pentru criptografia cu chei publice.
Una dintre cele mai importante realizări matematice ale secolului al XX-leaElwes, Richard, " O teoremă enormă: clasificarea grupurilor simple simple ", revista Plus, ediția 41, decembrie 2006. a fost efortul colaborativ, constând în peste 10.000 de pagini de reviste științifice, publicate mai ales între 1960 și 1980, care au culminat cu o clasificare completă a grupurilor simple finite.
Principalele clase de grupuri Gama de grupuri examinate s-a extins treptat de la , finite, și exemple speciale de până la grupuri abstracte care pot fi specificate printr-o prin și relații.
Grupuri de permutare Prima clasă de grupuri care au fost supuse unui studiu sistematic a fost . Având în vedere orice mulțime X și o colecție G de bijecții între X și ea însăși (cunoscute ca permutări) care este închisă în raport cu compoziția și inversarea ei, G este un grup asupra lui X. Dacă X constă din n elemente și G constă din toate permutările, atunci G este Sn; în general, orice grup de permutare G este un subgrup al grupului simetric al lui X. Una din primele construcții, datorată lui Cayley, a expus orice grup ca grup de permutare, acționând asupra lui însuși () prin la stânga.
În multe cazuri, structura unui grup de permutare poate fi studiată utilizând proprietățile acțiunii sale asupra mulțimii corespunzătoare. De exemplu, în acest fel se dovedește că pentru , grupul altern An este simplu, adică nu admite niciun propriu. Acest fapt joacă un rol cheie în imposibilitatea de a rezolva o ecuație algebrică generală de grad prin radicali.
Grupuri de matrice Următoarea clasă importantă de grupuri este dată de grupuri de matrice sau de . Aici G este o mulțime formată din matrici inversabile de ordin n dat peste un corp K care este închis în raport cu produsul și inversa. Un astfel de grup acționează asupra spațiului vectorial n-dimensional Kn prin transformări liniare. Această acțiune face ca grupurile de matrice să fie conceptual similare cu grupurile de permutare, iar geometria acțiunii să poată fi exploatată în mod util pentru a stabili proprietățile grupului G.
Grupuri de transformare Grupurile de permutare și grupurile de matrice sunt cazuri speciale de grupuri de transformare: grupuri care acționează pe un anumit spațiu X păstrându-i structura inerentă. În cazul grupelor de permutare, X este o mulțime; pentru grupurile de matrice, X este un spațiu vectorial. Conceptul de grup de transformare este strâns legat de conceptul de grup de simetrie: grupurile de transformare se compun frecvent din toate transformările care păstrează o anumită structură.
Teoria grupurilor de transformare formează o punte care leagă teoria grupurilor cu geometria diferențială. O lungă linie de cercetare, care provine de la Lie și Klein, consideră acțiunile de grup pe varietăți prin homeomorfisme sau difeomorfisme. Grupurile în sine pot fi discrete sau .
Grupuri abstracte Cele mai multe grupuri considerate în prima etapă a dezvoltării teoriei grupurilor erau „concrete”, fiind realizate prin numere, permutări sau matrice. Abia la sfârșitul secolului al XIX-lea, a început să prindă rădăcini ideea unui grup abstract ca mulțime cu operații care să satisfacă un anumit sistem de axiome. O modalitate tipică de a specifica un grup abstract este printr-o prin generatori și relații,
O sursă importantă de grupuri abstracte este dată de construirea unui grup factor G/H al unui grup G printr-un H. de au fost printre primele exemple de grupuri factor, de mare interes în teoria numerelor. Dacă un grup G este un grup de permutare pe o mulțime X, grupul factor G / H nu mai acționează asupra lui X ; dar ideea de grup abstract ne permite să nu ne deranjeze această discrepanță.
Schimbarea de perspectivă de la grupuri concrete la grupuri abstracte face naturală considerarea proprietăților grupurilor care sunt independente de o realizare particulară sau, în limbajul modern, să fie invariante în raport cu izomorfismele, precum și clase de grupuri cu o astfel de proprietate: grupuri finite, , grupuri simple, și așa mai departe. În loc să exploreze proprietățile unui grup individual, se dorește să se stabilească rezultate care se aplică unei întregi clase de grupuri. Noua paradigmă a fost de o importanță capitală pentru dezvoltarea matematicii: a prefigurat crearea algebrei abstractă în lucrările lui Hilbert, Emil Artin, Emmy Noether și matematicienii școlii lor.
Grupuri cu structură suplimentară O elaborare importantă a conceptului de grup apare dacă G este dotat cu o structură suplimentară, în special, una de spațiu topologic, sau . Dacă operațiile de grup m (înmulțirea) și i (inversiunea)
sunt compatibile cu această structură, adică sunt aplicații continue, sau (în sensul geometriei algebrice), atunci G este , grup Lie sau .Acest proces de impunere a structurii suplimentare a fost formalizat prin noțiunea de într-o categorie adecvată.
Prezența unei structuri suplimentare pune în legătură aceste tipuri de grupuri cu alte discipline matematice și astfel înseamnă că sunt disponibile mai multe instrumente pentru studiul lor. Grupurile topologice formează un domeniu natural pentru analiza armonică abstractă, în timp ce grupurile Lie (adesea realizate ca grupuri de transformare) reprezintă pilonii geometriei diferențiale și ai teoriei reprezentării unitare. Anumite întrebări de clasificare care nu pot fi rezolvate în general pot fi abordate și rezolvate pentru subclasele speciale ale grupurilor. Astfel, au fost complet clasificate. Există o relație fructuoasă între grupurile abstracte infinite și grupurile topologice: ori de câte ori un grup Γ poate fi realizat ca o într-un grup topologic G, geometria și analiza referitoare la G dau rezultate importante despre Γ. O tendință relativ recentă în teoria grupurilor finite exploatează legăturile lor cu grupurile topologice compacte (grupuri ): de exemplu, un singur G are o familie de coeficienți care sunt finite de diverse ordine, și proprietățile lui G au corespondent în proprietățile coeficienților săi finiți.
Ramurile teoriei grupurilor
Teoria grupurilor finite În secolul al XX-lea, matematicienii au cercetat în profunzime unele aspecte ale teoriei grupurilor finite, în special a grupurilor finite și teoria și . În consecință, s-a reușit clasificarea completă a grupurilor finite simple, ceea ce înseamnă că toate acele grupuri simple, din care pot fi construite toate grupurile finite sunt acum cunoscute.
În a doua jumătate a secolului al XX-lea, matematicieni precum Chevalley și Steinberg au îmbunătățit și înțelegerea analoagelor finite ale și ale altor grupuri asociate. O astfel de familie de grupuri este familia peste corpuri finite. Grupurile finite apar adesea atunci când se ia în considerare simetria obiectelor matematice sau fizice, atunci când acele obiecte admit doar un număr finit de transformări ce conservă structura. Teoria grupurilor Lie, care poate fi privită ca având în vedere „simetria continuă”, este puternic influențată de asociate. Acestea sunt grupuri finite generate de reflecții care acționează asupra unui spațiu euclidian finit-dimensional. Proprietățile grupurilor finite pot juca astfel un rol în domenii precum fizica și chimia teoretică.
Reprezentarea grupurilor A spune că un grup G asupra unei mulțimi X înseamnă că orice element din G definește o aplicație bijectivă pe mulțimea X într-un mod compatibil cu structura grupului. Când X are mai multă structură, este util să se restricționeze mai mult această noțiune: o reprezentare a lui G pe un spațiu vectorial V este un omomorfism de grup:
unde (V) constă din transformările liniare inversabile ale lui V. Cu alte cuvinte, fiecărui element din grupul g i se atribuie un automorfism ρ(g) astfel încât pentru orice h din G.
Această definiție poate fi înțeleasă în două direcții, ambele generând întregi noi domenii ale matematicii. Cum ar fi sau . Pe de o parte, poate genera noi informații despre grupul G: adesea, operația de grup din G este dată în mod abstract, dar prin ρ, aceasta corespunde înmulțirii matricilor, care este foarte explicită.În special, dacă reprezentarea este . Pe de altă parte, având în vedere un grup bine înțeles care acționează pe un obiect complicat, acest lucru simplifică studiul obiectului în cauză. De exemplu, dacă G este finit, că V de mai sus se descompune în . Aceste părți, la rândul lor, sunt mult mai ușor de gestionat decât întregul V (conform ).
Dat fiind un grup G, teoria reprezentării pune apoi întrebarea ce reprezentări ale lui G există. Există mai multe contexte, iar metodele utilizate și rezultatele obținute sunt destul de diferite în fiecare caz: și reprezentările grupurilor Lie sunt două subdomenii principale ale teoriei. Totalitatea reprezentărilor este guvernată de grupului. De exemplu, polinoamele Fourier pot fi interpretate drept caracterele lui U(1), grupul numerelor complexe de valoare absolută 1, care acționează asupra L2-spațiului funcțiilor periodice.
Teoria Lie
Un grup Lie este un grup care este și , cu proprietatea că operațiunile grupului sunt compatibile cu . Grupurile Lie sunt numite după Sophus Lie, care a pus bazele teoriei grupurilor de transformare continue. Termenul grupuri Lie a apărut pentru prima oară în franceză în 1893 în teza studentului lui Lie, Arthur Tresse, la pagina 3.
Grupurile Lie reprezintă teoria cea mai bine dezvoltată a simetriei continue a obiectelor și structurilor matematice, ceea ce le face instrumente indispensabile pentru multe părți ale matematicii contemporane, precum și pentru fizica teoretică modernă. Ele oferă un cadru natural pentru analiza simetriilor continue ale ecuațiilor diferențiale (), în același mod în care sunt folosite în teoria lui Galois pentru analiza simetriei discrete a ecuațiilor algebrice. O extindere a teoriei Galois în cazul grupurilor de simetrie continuă a fost una dintre motivațiile principale ale lui Lie.
Teoria grupurilor combinatorice și geometrice Grupurile pot fi descrise în moduri diferite. Grupurile finite pot fi descrise prin scrierea alcătuită din toate înmulțirile posibile . O modalitate mai compactă de a defini un grup este prin generatori și relații, numită și prezentarea unui grup. Dată fiind orice mulțime F de generatoare , generat de F surjectează asupra grupului G. Nucleul acestei aplicații este numit subgrupul de relații generat de o submulțime D. Prezentarea este de obicei indicată prin De exemplu, prezentarea de grup descrie un grup care este izomorf cu Un șir constând din simbolurile generatorului și inversele lor se numește cuvânt.