În relativitatea generală, tensorul metric (în acest context, denumit adesea pe scurt metrică) este obiectul fundamental de studiu. Poate fi imaginat intuitiv ca o generalizare a din teoria newtoniană a gravitației. Metrica surprinde însă toată structura geometrică și a spațiului, fiind folosită pentru a defini noțiuni cum ar fi timpul, distanța, volumul, curbura, unghiul și separarea viitorului de trecut.

Notație și convenții În tot acest articol se lucrează cu o predominant pozitivă ( ); vezi . Constanta gravitațională va fi menținută explicită. Se folosește , în care indicii repetați denotă însumare.

Definiție Din punct de vedere matematic, spațiu-timpul este reprezentat printr-o în patru dimensiuni , iar tensorul metric este dat ca un tensor , de grad doi, pe , notat convențional cu . Mai mult, metrica trebuie să fie nedegenerată cu . O varietate echipată cu o astfel de metrică este un tip de .

În mod explicit, tensorul metric este o pe orice al lui care variază într-o manieră lină (sau diferențiabilă) de la un punct la altul. Având în vedere doi vectori tangenți și într-un punct din , metrica poate fi evaluată în și pentru a da un număr real:

Aceasta este o generalizare a produsului scalar din spațiul euclidian obișnuit. Spre deosebire de spațiul euclidian – unde produsul scalar este – metrica este nedeterminată și dă fiecărui spațiu tangent structura de spațiu Minkowski.

Coordonate locale și reprezentări matriciale Fizicienii lucrează, de obicei, în (adică coordonate definite pe o anumită vecinătate locală din ). În coordonatele locale (Unde este un indice care rulează de la 0 la 3), metrica poate fi scrisă în formula

Factorii sunt gradienți ai câmpurilor de coordonate scalare . Metrica este astfel o combinație liniară de de gradienți 1-forme ai coordonatelor. Coeficienții sunt un set de 16 funcții reale (întrucât tensorul este un câmp tensorial, care este definit în toate punctele unei varietăți de spațiu-timp). Pentru ca metrica să fie simetrică, trebuie să avem

ceea ce dă 10 coeficienți independenți.

Dacă coordonatele locale sunt specificate sau înțelese din context, metrica poate fi scrisă ca matrice simetrică cu elementele . Nedegenerarea lui înseamnă că această matrice este nesingulară (adică are determinant nenul), în timp ce signatura lorentziană a lui înseamnă că matricea are o valoare proprie negativă și trei pozitive. Fizicienii denumesc adesea această matrice sau coordonatele însele ca metrică.

Cu cantitățile considerate ca fiind componente ale unui 4-vector de deplasare infinitezimală a coordonatelor (a nu confunda cu 1-formele cu aceeași notație de mai sus), metrica determină pătratul invariant al unui element linie infinitezimal, adesea denumit interval. Intervalul este adesea notat cu

Intervalul oferă informații despre . Cand , intervalul este temporal și rădăcina pătrată a valorii absolute a lui este un . Doar intervalele temporale pot fi parcurse fizic de un obiect masiv. Când , intervalul este luminos, și poate fi parcurs numai de lumină. Când , intervalul este spațial și rădăcina pătrată a lui acționează ca o . Intervalele spațiale nu pot fi traversate, deoarece ele conectează evenimente care se află unul în afara al celuilalt. Evenimentele pot fi legate cauzal numai dacă se află unul în conul luminos al altuia.

Componentele metricii depind de alegerea sistemului local de coordonate. Sub o schimbare de coordonate , componentele metricii se transformă astfel:

Exemple

Spațiu-timp plat Cel mai simplu exemplu de varietate lorentziană este spațiul plat, care poate fi dat ca R4 cu coordonatele și metrica

Aceste coordonate acoperă de fapt tot R4. Metrica spațiului plat (sau metrica Minkowski) este adesea notată cu simbolul η și este metrica folosită în relativitatea restrânsă. În coordonatele de mai sus, reprezentarea matricială a lui η este

(O convenție alternativă înlocuiește coordonata cu , și definește ca în baza standard a spațiului Minkowski)

În coordonate sferice , metrica spațiului plat ia forma

unde

este metrica standard pe 2-sferă.

Metricile găurilor negre Metrica Schwarzschild descrie o gaură neagră fără sarcină electrică și care nu se rotește. Există, de asemenea, metrici care descriu găuri negre cu sarcină electrică și în rotație.

Metrica Schwarzschild Pe lângă metrica spațiului plat, cea mai importantă metrică din relativitatea generală este metrica Schwarzschild care poate fi dată într-un set de coordonate locale prin

unde, din nou, este metrica standard pe 2-sferă. Aici, este constanta gravitațională și este o constantă cu dimensiune de masă. Metrica Schwarzschild se apropie de metrica Minkowski atunci când se apropie de zero (cu excepția originii, unde nu este definită). În mod similar, când tinde la infinit, metrica Schwarzschild se apropie de metrica Minkowski.

Cu coordonatele

se poate scrie metrica drept

Mai multe sisteme de coordonate au fost concepute pentru metrica Schwarzschild: , , și .

Găuri negre în rotație și cu sarcină electrică Soluția Schwarzschild presupune un obiect care nu se rotește în spațiu și nu are sarcină electrică. Pentru a ține cont de sarcină, metrica trebuie să satisfacă ecuațiile de câmp Einstein ca înainte, dar și ecuațiile lui Maxwell într-un spațiu curb. O masă cu sarcină electrică și ne-rotativă este descrisă de metrica Reissner-Nordström.

Găurile negre rotative sunt descrise prin și metrica .  

Alte metrici Alte metrici notabile sunt:

metrica Alcubierre, metricile / , , , (cunoscută și ca ), , , , .

Unele dintre acestea sunt fără orizontul de evenimente sau pot fi fără singularitate gravitațională.

Volumul Metrica g induce o naturală (până la un semn), care poate fi utilizată pentru a se integra într-o a unei varietăți. Având coordonatele locale pentru varietate, forma de volum poate fi scrisă

unde este determinantul matricei componentelor tensorului metric pentru sistemul de coordonate dat.

Curbura Metrica determină complet curbura spațiu-timpului. Conform , există o unică ∇ pe orice compatibilă cu metrica și fără . Această conexiune se numește . ale acestei conexiuni sunt date în termeni de derivate parțiale ale metricii în coordonate locale prin formula .

Curbura spațiului este atunci dată de tensorul de curbură Riemann care este definit în termenii legăturii Levi-Civita ∇. În coordonatele locale acest tensor este dat de:

Curbura este atunci exprimată doar în termeni de metrică și derivatele sale.

Ecuațiile lui Einstein Una dintre ideile de bază ale relativității generale este că metrica (și geometria asociată spațiului) este determinată de conținutul de materie și energie al spațiului. Ecuațiile de câmp ale lui Einstein:

unde tensorul de curbură Ricci

și curbura scalară

pun metrica (și tensorii de curbură asociați) în legătură cu tensorul energiei-impuls . Această ecuație tensorială este o mulțime complexă de ecuații cu derivate parțiale neliniare pentru componentele metricii. ale ecuațiilor de câmp ale lui Einstein sunt foarte greu de găsit.

Referințe

Categorie:Teoria relativității