Pi

right|300px|thumb|Dacă diametrul cercului este 1, circumferința sa va fi π

Numărul (adesea scris pi) este o constantă matematică a cărei valoare este raportul dintre circumferința și diametrul oricărui cerc într-un spațiu euclidian; este aceeași valoare ca și raportul dintre aria unui cerc și pătratul razei sale. Simbolul a fost propus pentru prima oară de matematicianul galez William Jones în 1706. Valoarea constantei este egală aproximativ cu în notația zecimală obișnuită (vezi tabelul din dreapta pentru reprezentarea în alte baze). este una dintre cele mai importante constante din matematică și fizică: numeroase formule din matematică, inginerie și alte științe implică folosirea lui .

este un număr irațional, adică valoarea sa nu poate fi exprimată exact sub formă de fracție m/n, cu m și n întregi. De aceea, reprezentarea sa zecimală nu are sfârșit și nu începe nici să se repete. Numărul este și transcendent, ceea ce înseamnă, printre altele, că nu există un șir finit de operații algebrice cu numere întregi (puteri, extrageri de radicali, sume etc.) al căror rezultat să fie egal cu valoarea lui; demonstrarea acestui fapt a fost o realizare relativ recentă în istoria matematicii și un rezultat semnificativ al matematicienilor germani ai secolului al XIX-lea. De-a lungul istoriei matematicii s-au depus eforturi semnificative de a determina cu mai multă precizie și de a-i înțelege natura; fascinația acestui număr a intrat și în cultura nematematică.

Litera grecească , scrisă pi în alfabetul latin, a fost adoptată de la cuvântul grecesc „περίμετρος”, perimetros (în română: perimetru), mai întâi de William Jones în 1707; notația a fost popularizată apoi de Leonhard Euler în 1737.

Bazele thumb|120px|left|Litera grecească utilizată pentru notarea constantei.

Litera thumb|right|Circumferința = × diametru

Numele literei grecești este pi, scriere utilizată în unele situații în care nu este disponibil simbolul grecesc, sau în care utilizarea sa ar fi problematică. corespunde literei române (latine) p. Nu se notează cu literă mare () nici măcar la început de propoziție.

Constanta se numește „” deoarece este prima literă a cuvintelor grecești εριφέρεια (perifereia = periferie) și ερίμετρος (perimetros = perimetru), probabil cu referire la utilizarea sa în formula de calcul a circumferinței (sau a perimetrului) unui cerc. este caracterul Unicode U+03C0 („Litera grecească mică pi”).

Definiție În geometria plană euclidiană, este definit ca raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul său:

Raportul C/d este constant, indiferent de dimensiunile unui cerc. De exemplu, dacă un cerc are de două ori diametrul d al unui alt cerc, el va avea de două ori circumferința C, păstrând raportul C/d.

thumb|right|Aria cercului = × aria pătratului umbrit

Altfel, poate fi definit și ca raportul dintre aria (A) unui cerc și aria unui pătrat cu latura egală cu raza cercului:

Aceste definiții depind de rezultatele geometriei euclidiene, cum ar fi faptul că toate cercurile sunt asemenea. Aceasta poate fi considerată o problemă atunci când apare în domenii matematice care altfel nu implică geometria. Din acest motiv, matematicienii preferă adesea să definească fără referire la geometrie, alegând în schimb ca definiție una dintre proprietățile sale analitice. O alegere frecventă este definirea lui ca fiind dublul celui mai mic număr pozitiv x pentru care cos(x) = 0. Formulele de mai jos ilustrează alte definiții echivalente.

thumb|320px|left|Graficul funcției cosinus, cu verde.

Iraționalitate și transcendență right|thumb|Construirea unui pătrat cu aceeași arie ca un cerc dat este o problemă cunoscută încă din antichitate. Însă în 1882 s-a demonstrat că este un număr transcendent, și deci un asemenea pătrat nu poate fi construit într-un număr finit de pași folosind numai rigla și compasul.

este un număr irațional, sau altfel spus, el nu poate fi scris ca raport (rație) de două numere întregi. Ipoteza iraționalității lui este menționată încă de Muhammad ibn Mūsā al-KhwārizmīGlimpses in the history of a great number: Pi in Arabic mathematics de Mustafa Mawaldi în secolul al IX-lea. Maimonides menționează în secolul al XII-lea că este sigur de iraționalitatea lui Commentariu la Mishna, începutul lui . Însă demonstrația completă a fost realizată abia în 1768 de către Johann Heinrich Lambert. În secolul al XX-lea s-au construit demonstrații ce nu necesită decât cunoștințe de calcul integral. Una dintre acestea i se datorează lui . O demonstrație oarecum similară este cea a lui .

este în același timp și număr transcendent, sau cu alte cuvinte, nu există niciun polinom cu coeficienți raționali care să-l aibă pe ca rădăcină. Acest fapt a fost demonstrat la 26 noiembrie 1882 de către Ferdinand von Lindemann la un seminar matematic al Universității din Freiburg. O consecință importantă a transcendenței lui este faptul că nu este construibil geometric. Întrucât coordonatele tuturor punctelor ce pot fi construite cu rigla și compasul sunt numere construibile, nu se poate construi cu rigla și compasul un pătrat cu arie egală cu cea a unui cerc dat. Aceasta are o importantă semnificație istorică, deoarece această problemă, numită "cuadratura cercului", este una dintre problemele elementare de geometrie cele mai ușor de înțeles datând din antichitate. În vremurile moderne numeroși amatori au încercat să rezolve problema, dar chiar dacă tentativele lor au fost uneori ingenioase, ele sunt întotdeauna sortite eșecului.

Valoarea numerică Reprezentarea zecimală a lui trunchiat la 50 de zecimale este:: Decimal expansion of Pi, On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 Vedeți legăturile externe pentru variante cu mai multe zecimale.

Deși reprezentarea zecimală a lui a fost calculată cu mai mult de 1012 cifre, unele aplicații elementare, cum ar fi calculul circumferinței unui cerc, vor necesita mai puțin de 12 zecimale exacte. De exemplu, o valoare trunchiată la 11 zecimale este suficient de precisă pentru a calcula circumferința unui cerc de dimensiunile pământului cu precizie de un milimetru, iar una cu 39 de zecimale exacte este suficientă pentru a calcula circumferința oricărui cerc care încape în universul observabil cu o precizie comparabilă cu dimensiunea unui atom de hidrogen.

Întrucât este număr irațional, el are un număr infinit de zecimale care nu conțin secvențe ce se repetă. Acest șir infinit de cifre a fascinat numeroși matematicieni și s-au depus eforturi semnificative în ultimele secole pentru a calcula mai multe cifre zecimale și de a investiga proprietățile acestui număr. În ciuda muncii analitice și a calculelor realizate pe supercalculatoare care au calculat 10 mii de miliarde de cifre ale lui , nu a apărut niciun șablon identificabil în cifrele găsite. Cifrele lui sunt disponibile pe multe pagini web, și există software pentru calcularea lui cu miliarde de cifre precizie pentru orice calculator personal.

Calculul lui poate fi estimat empiric prin desenarea unui cerc mare, urmată de măsurarea diametrului și circumferinței sale și împărțirea circumferinței la diametru. O altă abordare geometrică, atribuită lui Arhimede, este calculul perimetrului, Pn , unui poligon regulat cu n laturi circumscris unui cerc de diametru d. Atunci

Adică cu cât mai multe laturi are un poligon, cu atât mai apropiată este aproximarea lui . Arhimede a determinat acuratețea acestei abordări comparând perimetrul poligonului circumscris cu diametrul unui poligon regulat cu același număr de laturi înscris în cerc. Folosind un poligon cu 96 de laturi, el a calculat că: < < .

poate fi calculat și folosind metode pur matematice. Majoritatea formulelor utilizate pentru calculul valorii lui au proprietăți matematice dorite, dar sunt dificil de înțeles fără cunoștințe de trigonometrie și analiză matematică. Unele, însă, sunt foarte simple cum este de exemplu această formă a seriei Gregory-Leibniz:

Deși această serie este ușor de scris și calculat, nu este evident de ce rezultatul ei este . În plus, această serie converge atât de încet încât trebuie calculați aproape 300 de termeni pentru a obține o aproximare a lui cu 2 zecimale exacte. Calculând această serie într-o manieră mai inteligentă, luând mediile sumelor parțiale, ea poate fi făcută să conveargă mult mai rapid. Fie

și atunci se definește

apoi se calculează într-un timp de calcul echivalent cu calculul a 150 de termeni ai seriei originale cu metoda forței brute și , aproximare cu 9 zecimale exacte. Acest calcul este un exemplu de transformare van Wijngaarden.A. van Wijngaarden, in: Cursus: Wetenschappelijk Rekenen B, Process Analyse, Stichting Mathematisch Centrum, (Amsterdam, 1965) pp. 51–60.

Istorie Cea mai veche utilizare atestată a unei bune aproximări a lungimii unei circumferințe în raport cu raza este 3+1/7, valoare folosită la proiectele piramidelor din Vechiul Regat al Egiptului. Marea Piramidă din Giza, construită în 2550-2500 î.e.n., a fost construită cu un perimetru de 1.760 și o înălțime de 280 cubiți; raportul 1.760/280 ≈ 2. Egiptologi ca profesorii Flinders Petrie Petrie, W.M.F. 1940 Wisdom of the Egyptians: pp 27 și I.E.S EdwardsEdwards. I.E.S. 1979: The Pyramids of Egypt: pp269 au arătat că aceste proporții circulare au fost alese deliberat de către scribii și arhitecții Vechiului Regat, din motive simbolice.Jackson și Stamp (2002) Pyramid: Beyond Imagination. pp153Lightbody, D.I. 2008. Egyptian Tomb Architecture: The Archaeological Facts of Pharaonic Circular Symbolism. British Archaeological Reports. pp36 Aceleași proporții e fuseseră utilizate și la Piramida de la Meidum din anul 2600 î.e.n. Aceste aplicații au fost relevate arheologic, întrucât nu există dovezi scrise din perioada respectivă.

Istoria veche a lui în documente scrise urmează dezvoltarea matematicii în ansamblul ei. Unii autori împart progresul în trei perioade: perioada veche, în care a fost studiat geometric, epoca clasică de după dezvoltarea analizei matematice în Europa în preajma secolului al XVII-lea, și era calculatoarelor numerice.

Perioada geometrică Faptul că raportul dintre circumferința și diametrul unui cerc este același pentru toate cercurile indiferent de mărime, și că este cu puțin mai mare ca 3, a fost cunoscut în antichitate geometrilor Egiptului, Babilonului, Indiei și Greciei. Primele documente ce dovedesc aproximări ale acestui număr datează din preajma anului 1900 î.e.n.; acestea sunt 25/8 (Babilon) și 256/81 (Egipt), ambele aproximări de 1% ale valorii reale. Textul indian dă pentru valoarea 339/108 ≈ 3,139. Biblia evreiască pare să sugereze, în Cartea Regilor, că = 3, aproximare semnificativ mai slabă decât alte estimări disponibile la momentul scrierii ei (600 î.e.n.). Interpretarea pasajului este în discuție, unii considerând că raportul 3:1 este cel între circumferința interioară și diametrul exterior al unui bazin cu pereți subțiri, raport ce ar putea fi destul de precis, în funcție de grosimea pereților.

thumb|350px|right|Aproximarea lui pi după Arhimede thumb|right|Algoritmul al lui Liu Hui Arhimede (287–212 î.e.n.) a fost primul care a încercat să calculeze valoarea lui cu rigurozitate. El și-a dat seama că această mărime poate fi limitată superior și inferior înscriind cercurile în poligoane regulate și calculând perimetrul poligoanelor exterioare și respectiv interioare:

Folosind echivalentul unui poligon cu 96 de laturi, el a demonstrat că 3 + 10/71 <  < 3 + 1/7. Media acestor valori este aproximativ 3,14185.

În secolele ce au urmat s-au făcut și alte dezvoltări în India și China. În preajma anului 265 e.n., matematicianul din Regatul Wei a găsit un algoritm iterativ simplu și riguros pentru calculul lui la orice grad de precizie. El însuși a efectuat calculul până la un poligon cu 3072 laturi și a obținut o valoare aproximativă pentru de 3,1416, după cum urmează: