În matematică, un grup Coxeter, numit după H.S.M. Coxeter, este un grup abstract care admite o descriere formală în funcție de reflexii (sau oglindiri). Grupurile Coxeter finite sunt chiar grupurile de reflexie euclidiene finite. Un exemplu este grupul de simetrie al poliedrelor regulate. Totuși, nu toate grupurile Coxeter sunt finite și nu toate pot fi descrise în funcție de simetrii și reflexii euclidiene. Grupurile Coxeter au fost introduse în 1934 ca abstracții ale grupurilor de reflexie, iar grupurile Coxeter finite au fost clasificate în 1935.
Grupurile Coxeter au aplicații în multe domenii ale matematicii. Exemple de grupuri finite Coxeter sunt grupurile de simetrie ale politopurilor regulate și grupurile Weyl din algebrele Lie simple. Exemple de grupuri Coxeter infinite sunt grupurile triunghiului corespunzătoare teselărilor regulate ale planului euclidian și hiperbolic, și grupurile Weyl infinit-dimensionale ale algebrelor Kac–Moody.
Articolul se bazează în special pe două surse: și .
Definiție În mod formal, un grup Coxeter poate fi definit ca un grup cu prezentarea:
unde și pentru . Condiția însemnă că nu ar trebui impusă nicio relație de forma .
Perechea unde este un grup Coxeter cu generatorii este numită sistem Coxeter. De reținut că în general nu este determinat unic de . De exemplu, grupurile Coxeter de tip și sunt izomorfe dar sistemele Coxeter nu sunt echivalente (v. mai jos).
Din definiția de mai sus se pot trage imediat o serie de concluzii. Relația înseamnă că pentru toți ; adică generatorii sunt involuții. Dacă , atunci generatorii și sunt comutativi. Aceasta rezultă observând că , care, împreună cu
implică . Alternativ, deoarece generatorii sunt involuții, , prin urmare , iar asta este același lucru cu a fi comutator. Pentru a evita redundanța dintre relații, este necesară presupunerea că . Aceasta rezultă observând că , care, împreună cu
implică . Alternativ, și sunt elemente conjugate, deoarece .
Matricile Coxeter și Schläfli O matrice Coxeter este o matrice simetrică , cu intrările . Orice matrice simetrică cu intrări diagonale exclusiv 1 și intrări nediagonale din mulțimea este o matrice Coxeter.
Matricea Coxeter poate fi codificată convenabil printr-o diagramă Coxeter, conform următoarelor reguli. Vârfurile, care formează nodurile grafului sunt etichetate cu indicii generatorului. Vârfurile și sunt adiacente dacă și numai dacă . O latură (legătură) este etichetată cu valoarea ori de câte ori valoarea este sau mai mare.
În particular, doi generatori sunt comutativi dacă și numai dacă nu sunt conectați printr-o latură. Mai mult, dacă un graf Coxeter are două sau mai multe componente conectate, grupul asociat este produsul direct al grupurilor asociate componentelor individuale. Astfel, reuniunea disjunctă a grafurilor Coxeter produce un produs direct al grupurilor Coxeter.
Matricea Coxeter, , este legată de matricea Schläfli cu intrări , dar elementele sunt modificate, fiind proporționale cu produsul scalar al perechilor de generatori. Matricea Schläfli este utilă deoarece valorile proprii determină dacă grupul Coxeter este de tip finit (toate pozitive), tip afin (toate nenegative, cel puțin un zero) sau tip nedefinit (altfel). Tipul nedefinit este uneori subdivizat în continuare, de ex. în grupuri hiperbolice și alte grupuri Coxeter. Există mai multe definiții neechivalente pentru grupurile Coxeter hiperbolice.
+ ExempleGrup Coxeter A1×A1 A2 B2 H2 G2 A3 B3 D4 Diagramă CoxeterMatrice CoxeterMatrice Schläfli
Exemplu Graful în care nodurile de la 1 la n sunt plasate într-un rând, cu fiecare nod conectat printr-o muchie cu vecinii săi imediați dă naștere la grupul simetric Sn+1; generatorii corespund transpozițiilor (1 2), (2 3), ... , (n n+1). Două transpoziții neconsecutive comută întotdeauna, în timp ce (k k+1) (k+1 k+2) dă permutarea ciclică (k k+2 k+1). Desigur, acest lucru arată doar că Sn+1 este grupul factor din grupul Coxeter descris de graf, dar nu este prea dificil să se verifice dacă egalitatea este adevărată.
Conexiunea cu grupurile de reflexie Grupurile Coxeter sunt profund legate de grupurile de reflexie. Simplu spus, grupurile Coxeter sunt grupuri abstracte (date printr-o prezentare), în timp ce grupurile de reflexie sunt grupuri concrete (date ca subgrupuri ale grupurilor liniare sau diverse generalizări). Grupurile Coxeter au provenit din studiul grupurilor de reflexie — ele sunt o abstractizare: un grup de reflexie este un subgrup al unui grup liniar generat de reflexii (care are ordinul 2), în timp ce un grup Coxeter este un grup abstract generat de involuții (elemente de ordinul 2, abstracție din reflexii), și ale cărei relații au o anumită formă (, corespunzând intersecțiilor hiperplanelor la un unghi de , cu fiind de ordinul k, extras dintr-o rotație de ).
Grupul abstract al unui grup de reflexie este un grup Coxeter, în timp ce invers, un grup de reflexie poate fi văzut ca o reprezentare liniară a unui grup Coxeter. Pentru grupurile de reflexie finite, aceasta produce o corespondență exactă: fiecare grup finit Coxeter admite o reprezentare fidelă ca un grup de reflecție finit al unui spațiu euclidian. Însă pentru grupurile Coxeter infinite, un grup Coxeter poate să nu admită o reprezentare ca grup de reflecție.
Din punct de vedere istoric, a demonstrat că fiecare grup de reflexie este un grup Coxeter (adică, are o prezentare în care toate relațiile sunt de forma sau ). Prin această lucrare a introdus noțiunea de grup Coxeter, în timp ce în a demonstrat că fiecare grup finit Coxeter are o reprezentare ca grup de reflexie și a clasificat grupurile finite Coxeter.
Grupuri Coxeter finite 500px|thumb|Grafuri Coxeter ale grupurilor Coxeter finite
Clasificare Grupurile Coxeter finite au fost clasificate în conform diagramelor Coxeter–Dynkin. Toate sunt reprezentate de grupurile de reflexie a spațiilor euclidiene finite dimensional.
Grupurile finite Coxeter constau din trei familii cu un singur parametru, de rang crescător o familie cu un singur parametru de dimensiunea doi, și șase grupuri excepționale: și Produsul a multe grupuri Coxeter finite din această listă este și el un grup Coxeter și toate grupurile Coxeter finite se formează astfel.
Grupuri Weyl Multe, dar nu toate dintre acestea, sunt grupuri Weyl, iar orice grup Weyl poate fi realizat ca grup Coxeter. Grupurile Weyl sunt familiile și iar excepțiile și sunt notate în notația grupurilor Weyl cu Excepțiile și nu sunt grupuri Weyl, iar familia excepțională coincide cu unul dintre grupurile Weyl (anume, and ).
Acest lucru poate fi demonstrat prin compararea restricțiilor asupra diagramelor Dynkin (neorientate) cu restricțiile asupra diagramelor Coxeter ale grupurilor finite: formal, graful Coxeter poate fi obținut din diagrama Dynkin ștergând orientarea legăturilor și înlocuind fiecare legătură dublă cu o legătură etichetată „4” și fiecare legătură triplă cu o legătură etichetată „6”. De asemenea, de reținut că fiecare grup Coxeter finit generat este un grup automat. Diagramele Dynkin au restricția suplimentară conform căreia singurele etichete ale legăturilor permise sunt „2”, „3”, „4” și „6”, ceea ce dă rezultatele de mai sus. Geometric, aceasta corespunde cu teorema de restricție cristalografică, iar faptul că politopurile excluse nu umplu spațiul sau nu pavează planul — pentru , dodecaedrul (dualul icosaedrului) nu umplu spațiul; pentru 120-celule (dualul lui 600-celule) nu umplu spațiul; pentru un p-gon nu pavează planul, cu excepția sau (dalele triunghiulare, pătrate și respectiv hexagonale).
De reținut și că diagramele Dynkin (orientate) Bn și Cn generează același grup Weyl (deci grup Coxeter), deoarece acestea diferă ca grafuri orientate, dar sunt la fel ca grafuri neorientate- orientarea contează pentru sistemele de generatori, dar nu pentru grupul Weyl; aceasta corespunde cu hipercubul și ortoplexul care sunt politopuri diferite, dar au același grup de simetrie.
Proprietăți În tabelul următor sunt date unele proprietăți ale grupurilor Coxeter finite ireductibile. Ordinea grupurilor reductibile poate fi calculată din produsul ordinelor subgrupurilor lor ireductibile.
RangnSimbolgrupSimbolalternativNotația CoxeterDiagramăCoxeterReflexiim=nhCoxeter, Regular polytopes, §12.6 The number of reflections, equation 12.61Număr CoxeterhOrdin Structura grupului politopuri asociate1 A1 A1 [ ] 1 2 2 { }2 A2 A2 3 3 6 {3} 3 A3 A3 [3,3] 6 4 24 {3,3} 4 A4 A4 [3,3,3] 10 5 120 {3,3,3} 5 A5 A5 [3,3,3,3] 15 6 720 {3,3,3,3} n An An [3n−1] ... n(n + 1)/2 n + 1 (n + 1)! n-simplex 2 B2 C2 4 4 8 {4}3 B3 C3 [4,3] 9 6 48 {4,3} / {3,4} 4 B4 C4 [4,3,3] 16 8 384 -{4,3,3} / {3,3,4} 5 B5 C5 [4,3,3,3] 25 10 3840 {4,3,3,3} / {3,3,3,4} n Bn Cn [4,3n−2] ... n2 2n 2n n! n-cub / n-ortoplex 4 D4 B4 [31,1,1] 12 6 192 h{4,3,3} / {3,31,1}5 D5 B5 [32,1,1] 20 8 1920 h{4,3,3,3} / {3,3,31,1}n Dn Bn [3n−3,1,1] ... n(n − 1) 2(n − 1) 2n−1 n! n-semicub / n-ortoplex6 E6E6 [32,2,1] 36 12 51840 (72x6!) 221, 122 7 E7E7 [33,2,1] 63 18 2903040 (72x8!) 321, 231, 132 8 E8 E8 [34,2,1] 120 30 696729600 (192x10!) 421, 241, 142 4 F4F4 [3,4,3] 24 12 1152 {3,4,3} 2 G2 – (D) 6 6 12 {6} 2 H2 G2 5 5 10 {5} 3 H3 G3 [3,5] 15 10 120 {3,5} / {5,3} 4 H4 G4 [3,3,5] 60 30 14400 {5,3,3} / {3,3,5} 2 I2(n) D [n] n n 2n când n = pk + 1, p prim când n = pk − 1, p prim {p}
Grupuri de simetrie ale politopurilor regulate Toate grupurile de simetrie ale politopurilor regulate sunt grupuri Coxeter finite. De reținut că politopul dual are același grup de simetrie.
Există trei serii de politopuri regulate în toate dimensiunile. Grupul de simetrie al unui n-simplex regulat este grupul simetric Sn+1, cunoscut și ca grupul Coxeter de tip An. Grupul de simetrie al n-cubului și al dualului său, n-ortoplexul, este Bn, este cunoscut ca grupul hiperoctaedric.
Politopurile regulate excepționale din două, trei și patru dimensiuni corespund altor grupuri Coxeter. În două dimensiuni, grupurile diedrale, care sunt grupurile de simetrie ale poligoanelor regulate, formează seria I2(p). În trei dimensiuni, grupul de simetrie al dodecaedrului regulat și al dualului său, icosaedrul regulat, este H3, cunoscut sub numele de grupul icosaedric complet. În patru dimensiuni, există trei politopuri regulate particulare, 24-celule, 120-celule și 600-celule. Primul are grupul de simetrie F4, iar celelalte două sunt duale și au grupul de simetrie H4.
Grupurile Coxeter de tip Dn, E6, E7 și E8 sunt grupurile de simetrie ale anumitor politopuri semiregulate.
Grupuri Coxeter afine 400px|thumb|Diagramele Coxeter pentru grupurile Coxeter afine thumb|Diagrama Stiefel pentru sistemul de generatori Grupurile Coxeter afine formează o a doua serie importantă de grupuri Coxeter. Acestea nu sunt ele însele finite, dar fiecare conține un subgrup abelian normal astfel încât grupul factor corespunzător este finit. În fiecare caz grupul factor este el însuși un grup Coxeter, iar graful Coxeter al grupului Coxeter afin este obținut din graful Coxeter al grupului factor adăugând un alt vârf și una sau două muchii suplimentare. De exemplu, pentru n ≥ 2, graful format din n+1 vârfuri într-un cerc este obținut așa din An , iar grupul Coxeter corespunzător este grupul Weyl afin al An (grupul simetric afin). Pentru n = 2, acest lucru poate fi reprezentat ca un subgrup al grupului de simetrie al pavării regulate a planului cu triunghiuri echilaterale.