În algebra abstractă, corpul fracțiilor unui domeniu de integritateProgramă Concursul Național Studențesc de Matematică Traian Lalescu , Alba Iulia: Universitatea „1 Decembrie 1918”, 2013, accesat 2021-07-18Syllabus: Algebră 3, Cluj-Napoca: Universitatea „Babeș-Bolyai”, Facultatea de Matematică și Informatică, 2007, accesat 2021-07-18Loredana Teleaga, Inele și corpuri: Noțiuni de algebră superioară, Bacău: Ed. Rovimed, 2012, p. 72, accesat 2021-07-18 este cel mai mic corp în care acesta poate fi încorporat. Construcția corpului fracțiilor este modelată pe relația dintre domeniul de integritate al numerelor întregi și corpul numerelor raționale. Intuitiv, este format din raporturi între elementele domeniului de integritate.
Corpul fracțiilor din este uneori notat cu sau iar construcția este uneori numită corp de fracțiiBrândușa Răileanu, Dicționar român–englez de termeni matematici și tehnici, București: Ed. MTTLC, 2016, , p. 75Aurelian Claudiu Volf, Structuri algebrice și aplicații, Iași: Universitatea „Al. I. Cuza”, 2004 (actualizat 2007), p. 6, accesat 2021-07-18, corpul coeficiențilorBușneag, Piciu, Lecții de algebră, p. 244Ion D. Ion ș.a., Matematică: Manual pentru clasa a XII-a, M2 , București: Ed. Sigma, 2007, , p. 82 sau corp de coeficiențiHorváth, Introducere…, p. 161. Toate aceste denumiri nu trebuie confundate cu factorizarea inelului factor printr-un ideal al săuTiberiu Dumitrescu, Algebra 1 , București: 2006, p. 70, accesat 2021-07-18Bușneag, Piciu, Lecții de algebră, p. 173, care este o noțiune diferită. Pentru un inel comutativ care nu este un domeniu de integritate, o construcție asociată este localizarea sau inelul de coeficiențiHorváth, Introducere…, p. 19.
Definiție Fiind dat un domeniu d integritate Se definește relația de echivalență pe lăsând oricând . Se notează clasa de echivalență a cu fracția . Această noțiune de echivalență este motivată de numerele raționale , care au aceeași proprietate față de inelul întregilor subiacent .
Atunci corpul fracțiilor este mulțimea cu adunarea dată de
și înmulțirea dată de
Se poate verifica că aceste operații sunt bine definite și că, pentru orice domeniu de integritate , este într-adevăr un corp. În special pentru , inversul înmulțirii lui este așa cum era de așteptat: .
Încorporarea în aplică fiecare din pe fracția pentru orice diferit de zero (clasa de echivalență este independentă de opțiunea ). Aceasta este modelată pe identitatea .
Corpul fracțiilor lui este caracterizat prin următoarea proprietate universală: dacă este un omomorfism de inele injectiv al pe corpul , atunci există un omomorfism de inele unic care extinde .
Există o interpretare categorială a acestei construcții. Fie categoria domeniilor de integritate și a aplicațiilor inelului injectiv. Functorul lui la categoria corpurilor care asociază oricare domeniu de integritate cu corpul său al fracțiilor și oricare omomorfism la aplicația indusă pe corpuri (care există prin proprietatea universală) este adjunctul la stânga al subcategoriei categoriei corpurilor pe . Astfel, categoria corpurilor (care este o subcategorie completă) este o subcategorie reflexivă a lui .
Pentru domeniul de identitate nu este necesar un element neutru; această construcție poate fi aplicată oricărui inel nenul comutativ rng fără niciun divizor al lui zero. Încorporarea este dată de pentru orice diferit de zero.
Exemple Corpul fracțiilor inelului întregilor este corpul numerelor raționale, . Fie inelul întregilor gaussieni. Atunci este corpul numerelor raționale gaussiene. Corpul fracțiilor unui corp este izomorf cu corpul însuși. Fiind dat corpul , corpul fracțiilor inelului de polinoame unui nedeterminat (care este un domeniu de integritate), se numește corpul funcțiilor raționale sau corpul fracțiilor raționale și este notat .
Note
Bibliografie Dumitru Bușneag, Dana Piciu, Lecții de algebră, Craiova: Ed. Universitaria, 2002, Alexandru Horváth, Introducere în algebra computațională: aplicații în grupuri, ecuații algebrice, topologie , București: Ed. Didactică și Pedagogică, 2011,
Categorie:Teoria corpurilor Categorie:Structuri algebrice