thumb|Cel mai mare deltaedru strict convex este icosaedrul regulat thumb|Acesta este un tetraedru trunchiat cu hexagoanele subdivizate în triunghiuri. Această figură nu este un deltaedru strict convex deoarece fețele coplanare nu sunt permise de definiție. În geometrie un deltaedru este un poliedru ale cărui fețe sunt toate triunghiuri echilaterale. Numele este preluat din litera majusculă delta din alfabetul grec, (Δ), care are forma unui triunghi echilateral. Există infinit de multe deltaedre, toate având un număr par de fețe conform lemei care afirmă că orice graf are un număr par de noduri impare.Victor Ștefan, Bazele Ciberneticii Economice, ase.ro, accesat 2022-02-22 Dintre acestea doar opt sunt convexe, având 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 și 20 de fețe. (Au arătat că există exact 8 deltaedre convexe.) Numărul de fețe, laturi și vârfuri este dat mai jos pentru fiecare dintre cele opt deltaedre convexe.
Cele opt deltaedre convexe Există doar opt deltaedre strict convexe: trei sunt poliedre regulate, iar cinci sunt poliedre Johnson. Cele trei poliedre regulate convexe sunt poliedre platonice. Deltaedre regulate Imagine Nume Fețe Laturi Vârfuri Configurațiile vârfurilor Grup de simetrie 60px tetraedru 4 6 4 4 × 33 Td, [3,3] 60px octaedru 8 12 6 6 × 34 Oh, [4,3] 60px icosaedru 20 30 12 12 × 35 Ih, [5,3] Deltaedre Johnson Imagine Nume Fețe Laturi Vârfuri Configurațiile vârfurilor Grup de simetrie 60px bipiramidă triunghiulară 6 9 5 2 × 333 × 34 D3h, [3,2] 60px bipiramidă pentagonală 10 15 7 5 × 342 × 35 D5h, [5,2] 60px bisfenoid snub 12 18 8 4 × 344 × 35 D2d, [2,2] 60px prismă triunghiulară triaugmentată 14 21 9 3 × 346 × 35 D3h, [3,2] 60px bipiramidă pătrată giroalungită 16 24 10 2 × 348 × 35 D4d, [4,2]
În deltaedrul cu 6 fețe, unele vârfuri au gradul 3 și unele gradul 4. În deltaedrele cu 10, 12, 14 și 16 fețe, unele vârfuri au gradul 4 și unele gradul 5. Aceste cinci deltaedre neregulate aparțin clasei poliedrelor Johnson: poliedre convexe cu fețe poligonale regulate.
Deltaedrele își păstrează forma chiar dacă laturile sunt libere să se rotească în jurul vârfurilor lor, astfel încât unghiurile dintre laturi să fie fluide. Nu toate poliedrele au această proprietate: de exemplu, dacă se relaxează unele dintre unghiurile unui cub, cubul poate fi deformat într-o prismă pătrată oblică.
Nu există vreun deltaedru convex cu 18 fețe. Totuși, un icosaedru cu laturile contractate oferă un exemplu de octadecaedru care poate fi fie convex cu 18 fețe triunghiulare neregulate, fie realizat cu triunghiuri echilaterale, însă cu două seturi coplanare de trei triunghiuri.
Cazuri care nu sunt strict convexe Există infinit de multe cazuri cu triunghiuri coplanare, permițând secțiuni ale pavărilor triunghiulare infinite. Dacă seturile de triunghiuri coplanare sunt considerate o singură față, se poate considera un set mai mic de fețe, laturi și vârfuri. Fețele triunghiulare coplanare pot fi îmbinate în fețe rombice, trapezoidale, hexagonale sau alte fețe poligonale echilaterale. Fiecare față trebuie să fie un polimino de triunghiuri convex, cum ar fi 20px, 30px, -3-1.svg|30px, 40px, 30px, 50px, 60px și 30px, ... The Convex Deltahedra And the Allowance of Coplanar Faces, interocitors.com, accesat 2022-02-23
Câteva exemple mai mici: + Deltaedre coplanare Imagine Nume Fețe Laturi Vârfuri Configurațiile vârfurilor Grup de simetrie60pxOctaedru augmentatAugmentare1 tetr. + 1 octa. 10 20px 15 71 × 333 × 343 × 350 × 36C3v, 4 20px 3 30px 1260pxTrapezoedru trigonalAugmentare2 tetr. + 1 octa. 12 20px1882 × 330 × 346 × 350 × 36 C3v, 6 30px1260pxAugmentare2 tetr. + 1 octa. 12 20px1882 × 331 × 344 × 351 × 36 C2v, 2 20px2 30px2 30px11760pxTrunchi triunghiularAugmentare3 tetr. + 1 octa. 14 20px2193 × 330 × 343 × 353 × 36 C3v, 1 20px3 30px1 30px9660pxOctaedru alungitAugmentare2 tetr. + 2 octa. 16 20px24100 × 334 × 344 × 352 × 36 D2h, [2,2] 4 20px4 30px12660pxTetraedruAugmentare4 tetr. + 1 octa. 16 20px24104 × 330 × 340 × 356 × 36 Td, [3,3] 4 30px64 60pxAugmentare3 tetr. + 2 octa. 18 20px27111 × 332 × 345 × 353 × 36 D2h, [2,2] 2 20px1 30px2 30px2 40px14960pxIcosaedru cu fețe contractate 18 20px27110 × 332 × 348 × 351 × 36 C2v, 12 20px2 30px221060pxBitrunchi triunghiularAugmentare6 tetr. + 2 octa. 20 20px30120 × 333 × 346 × 353 × 36 D3h, [3,2] 2 20px6 30px15960pxCupolă triunghiularăAugmentare4 tetr. + 3 octa. 22 20px3313 0 × 333 × 346 × 354 × 36 C3v, 3 20px3 30px1 30px1 30px15960pxBipiramidă triunghiularăAugmentare8 tetr. + 2 octa.24 20px36142 × 333 × 340 × 359 × 36 D3h, 6 30px9560pxAntiprismă hexagonală 24 20px36140 × 330 × 3412 × 352 × 36 D6d, [12,2+] 12 20px2 30px241260pxTetraedru trunchiatAugmentare6 tetr. + 4 octa. 28 20px42160 × 330 × 3412 × 354 × 36 Td, [3,3] 4 20px4 30px181260pxCuboctaedru tetrakisOctaedruAugmentare8 tetr. + 6 octa.32 20px48180 × 3312 × 340 × 356 × 36 Oh, [4,3] 8 30px126
Forme neconvexe Există un număr infinit de forme neconvexe.
Câteva exemple de deltaedre cu fețe autointersectate: thumb|Marele icosaedru Marele icosaedru - un poliedru Kepler–Poinsot cu 20 de triunghiuri care se intersectează.
Alte deltaedre neconvexe pot fi generate prin adăugarea de piramide echilaterale pe fețele tuturor celor 5 poliedre platonice: 110px110px110px110px110px tetraedru triakis hexaedru tetrakis octaedru triakis(stella octangula) dodecaedru pentakis icosaedru triakis12 triunghiuri24 triunghiuri60 triunghiuri
Alte augmentări ale tetraedrului: + Exemple: Tetraedre augmentate160px160px160px8 triunghiuri10 triunghiuri12 triunghiuri
De asemenea, prin adăugarea pe fețe a unor piramide inversate: Dodecaedru excavat 160pxDodecaedru excavat160pxUn deltaedru toroidal60 triunghiuri48 triunghiuri
Note
Lectură suplimentară . . . . pp. 35–36
Legături externe
The eight convex deltahedra Deltahedron Deltahedron