thumb|Prăjitură rotundă tăiată în 7 bucăți prin trei tăieturi

În matematică un număr poligonal central este un număr figurativ care indică numărul maxim de regiuni în care poate fi divizat un disc printr-un număr dat, , de drepte. Prin analogie cu tăierea în bucăți a unei foi de clătită, pentru succesiv numerele sunt cunoscute drept șirul tăietorului leneș (în ). De exemplu, cu trei tăieturi o clătită va putea fi tăiată în șase bucăți dacă toate tăieturile se întâlnesc într-un punct comun în interiorul discului, dar în șapte bucăți dacă nu se întâlnesc. Această problemă poate fi formalizată matematic ca una de numărare a regiunilor dintr-un . Pentru generalizări în dimensiuni superioare a se vedea .

Analogul tridimensional al acestui șir este șirul numerelor de tort.

Formula șirului thumb|Numărul maxim de regiuni care se pot obține prin tăieturi drepte este al -lea număr triunghiular plus 1, formând șirul tăietorului leneș thumb|upright=1.5|În triunghiul lui Bernoulli șirul tăietorului leneș este cel colorat verde Numărul maxim de regiuni care se pot obține prin tăieturi drepte, unde , este dat de formula:

Folosind coeficienții binomiali, formula poate fi exprimată sub forma:

De fapt, doar se adună 1 la numerele triunghiulare. Deoarece a treia coloană a triunghiului lui Bernoulli ( = 2) este un număr triunghiular plus unu, ea este șirul tăietorului leneș din tăieturi, unde  ≥ 2.

Șirul poate fi obținut și din suma primilor 3 termeni ai fiecărui rând din triunghiul lui Pascal: {| class="wikitable" width=200px style="text-align:right;" ! !! style="width:25px;"|0 !! style="width:25px;"|1 !! style="width:25px;"|2 ! rowspan="11" style="padding:0;"| !! Suma |- ! 0 | 1 || - || - || 1 |- ! 1 | 1 || 1 || - || 2 |- ! 2 | 1 || 2 || 1 || 4 |- ! 3 | 1 || 3 || 3 || 7 |- ! 4 | 1 || 4 || 6 || 11 |- ! 5 | 1 || 5 || 10 || 16 |- ! 6 | 1 || 6 || 15 || 22 |- ! 7 | 1 || 7 || 21 || 29 |- ! 8 | 1 || 8 || 28 || 37 |- ! 9 | 1 || 9 || 36 || 46

Șirul, începând cu , este: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, ...

Analogul său tridimensional este șirul numerelor de tort. Diferența dintre numerele succesive de tort dă șirul tăietorului leneș.

Demonstrație thumb|Numărul maxim de bucăți obținute prin tăieturi consecutive sunt numerele din șirul tăietorului leneș Când un disc este tăiat de ori, pentru a se obține numărul maxim de bucăți, reprezentat ca , trebuie luată în considerare a -a tăietură; numărul de bucăți înainte de ultima tăiere este , în timp ce numărul de bucăți adăugate de ultima tăiere este .

Pentru a obține numărul maxim de bucăți, a -a dreaptă tăietoare ar trebui să intersecteze toate celelalte drepte tăietoare anterioare din interiorul discului, dar să nu treacă prin nicio intersecție a dreptelor tăietoare anterioare. Astfel, a -a dreaptă în sine este tăiată în locuri și în segmente. Fiecare segment divide bucăți deja tăiate în 2 părți, adăugând exact la numărul de bucăți. Noua dreaptă nu poate avea mai multe segmente, deoarece poate traversa fiecare dreaptă anterioară o singură dată. O dreaptă tăietoare poate trece întotdeauna peste toate dreptele tăietoare anterioare, deoarece rotirea cuțitului la un unghi mic în jurul unui punct care nu este o intersecție deja existentă va intersecta, dacă unghiul este suficient de mic, toate dreptele anterioare, inclusiv pe ultima adăugată.

Astfel, numărul total de piese după tăieturi este:

Această relație de recurență poate fi rezolvată. Dacă este extins cu un termen, relația devine:

Dezvoltarea termenului poate continua până când ultimul termen este redus la , astfel,

Fiindcă , deoarece există o singură bucată înainte de a face prima tăiere, aceasta poate fi rescrisă ca:

Expresia poate fi simplificată folosind formula pentru suma unei progresii aritmetice:

Note

Bibliografie

Vezi și Triunghiul lui Floyd

Legături externe

Categorie:Numere figurative Categorie:Optimizare Categorie:Articole care conțin demonstrații