În algebra liniară o aplicație multiliniară este o funcție de mai multe variabile care este liniară separat în fiecare variabilă. Mai precis, o aplicație multiliniară este o funcție
unde și sunt spații vectoriale (sau module peste un inel comutativ), cu următoarea proprietate: pentru fiecare , dacă toate variabilele cu excepția lui sunt menținute constante, atunci este o funcție liniară de .
O aplicație multiliniară de o variabilă este o aplicație liniară, iar de două variabile este o aplicație biliniară. În general, o aplicație multiliniară de variabile se numește o aplicație -liniară. Dacă codomeniul unei aplicații multiliniare este corpul scalarilor, se numește . Aplicațiile multiliniare și formele multiliniare sunt obiecte fundamentale de studiu în algebra multiliniară.
Dacă toate variabilele aparțin aceluiași spațiu, formele pot fi simetrice, antisimetrice, sau aplicații k-liniare alternate. Acestea din urmă coincid dacă inelul subiacent (sau corpul) are o caracteristică diferită de 2, altfel primele două coincid.
Exemple Orice aplicație biliniară este o aplicație multiliniară. De exemplu, orice produs scalar dintr-un spațiu vectorial este o aplicație multiliniară, la fel ca produsul vectorial al vectorilor din . Determinantul unei matrice este o funcție multiliniară alternată a coloanelor (sau liniilor) unei matrice pătrate. Dacă este o , atunci a -a derivată a lui în orice punct din domeniul său poate fi văzută ca o -funcție liniară simetrică .
Reprezentare prin coordonate Fie o aplicație multiliniară în spațiile vectoriale finit dimensionale cu dimensiunea și un spațiu cu dimensiunea . Dacă se alege baza pentru fiecare și baza pentru (folosind caractere grase pentru vectori), atunci se poate defini o colecție de scalari prin
Atunci scalarii determină complet funcția multiliniară . În particular, dacă
pentru , atunci
Exemple Fie forma triliniară
unde , iar .
O bază pentru orice este Fie
unde . Cu alte cuvinte, constanta este o valoare a funcției în unul dintre cele opt triplete posibile ale vectorilor bazei (deoarece există două opțiuni pentru fiecare dintre cei trei ), și anume:
Orice vector poate fi exprimat printr-o combinație liniară a vectorilor bazei
Valoarea funcției pentru o colecție arbitrară de trei vectori poate fi exprimată prin
Sau, în formă dezvoltată
Relația cu produsele tensoriale Există o corespondență naturală biunivocă între aplicațiile multiliniare
și aplicațiile liniare
unde prin este notat al . Relația dintre funcțiile și este dată de formula
Funcții multiliniare pe matrici n×n Se pot considera funcțiile multiliniare pe o matrice peste un inel comutativ cu element neutru, ca fiind funcții pe liniile (sau coloanele) matricei. Fie o astfel de matrice, iar rândurile ei. Atunci funcția multiliniară poate fi scrisă
satisfăcând relația
Dacă reprezintă a -lea linie a matricei unitate, se poate exprima fiecare linie ca suma
Folosind multiliniaritatea lui se poate rescrie sub forma
Continuând această substituție pentru toate valorile lui se obține pentru ,
Prin urmare este determinată unic prin modul cum operează pe .
Exemple În cazul matricilor 2×2 se obține
unde și . Dacă se restricționează să fie o funcție alternată, atunci și . Cu se obține determinantul matricilor 2×2:
Proprietăți O aplicație multiliniară are valoarea zero ori de câte ori unul dintre argumentele sale este zero.
Note
Vezi și Formă algebrică Formă multiliniară Polinom omogen Funcție omogenă Tensor
Multiliniar Multiliniar