În analiza complexă o singularitate izolatăEugenia Paulescu, Ecuațiile diferențiale ale fizicii matematice (curs), Universitatea de Vest din Timișoara, accesat 2023-05-15Gabriela Apreutesei, Curs de analiză complexă (curs, 2010, p. 39), Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2023-05-15 este una care nu are altă singularități apropiate. Cu alte cuvinte, un număr complex 0 este o singularitate izolată a unei funcții dacă există un disc deschis cu centrul în 0 astfel încât este olomorfă pe \ {0}, adică pe mulțimea obținută din fără 0.
Formal, din punct de vedere al , o singularitate izolată a unei funcții olomorfe este orice punct izolat al frontierei a domeniului . Cu alte cuvinte, dacă este o submulțime deschisă a , și este o funcție olomorfă, atunci este o singularitate izolată a lui .
Orice singularitate a unei funcții meromorfe pe o submulțime deschisă este izolată, dar izolarea singularităților nu este suficientă pentru a garanta că o funcție este meromorfă. Multe instrumente importante de analiză complexă, cum ar fi și necesită ca toate singularitățile relevante ale funcției să fie singularități izolate. Există trei tipuri de singularități izolate: singularități eliminabile, poli și singularități esențiale.
Exemple Funcția are 0 ca singularitate izolată. Funcția cosecantă are orice întreg ca singularitate izolată.
Singularități neizolate În afară de singularitățile izolate, funcțiile complexe de o variabilă pot prezenta un alt comportament singular. Și anume, există două tipuri de singularități neizolate:
Puncte de acumulare ale singularităților izolate: dacă toate sunt poli, deși toate admit dezvoltări în serie Laurent, o astfel de dezvoltare nu este posibilă la limita sa. Frontiere naturale, adică orice mulțime neizolată (de exemplu o curbă) în jurul căreia funcțiile nu pot fi continue analitic (sau în afara lor dacă sunt curbe închise din sfera Riemann).
Exemple Funcția este meromorfă pe , cu poli simpli în , pentru orice . Deoarece , orice disc perforat cu centrul în are un număr infinit de singularități, deci nu este disponibilă nicio dezoltare Laurent pentru în jurul lui , care este de fapt un punct de acumulare al polilor săi. Funcția are o singularitate în 0 care este nu este una izolată, deoarece există singularități la inversele oricărui întreg, care sunt situate arbitrar de aproape de 0 (deși singularitățile acestor inverse sunt ele însele izolate). Funcția definită prin seria Maclaurin converge în interiorul discului unitate deschis centrat în și are cercul unitate ca frontieră naturală.
Note
Bibliografie Lars Ahlfors, Complex Analysis, 3 ed. (McGraw-Hill, 1979). Walter Rudin, Real and Complex Analysis, 3 ed. (McGraw-Hill, 1986).
Legături externe
Categorie:Analiză complexă