În geometria algebrică o cuartică plană este o curbă plană de gradul al patrulea. Poate fi definită printr-o ecuație de gradul al patrulea în două variabile (bivariată}:
cu cel puțin unul dintre coeficienții diferit de zero. Această ecuație are 15 constante. Totuși, înmulțirea cu orice constantă diferită de zero nu modifică curba. Astfel, prin alegerea unei constante adecvate de înmulțire, oricare dintre coeficienți poate fi făcut 1, lăsând doar 14 constante. Prin urmare, spațiul curbelor cuartice poate fi identificat cu De asemenea, din teorema lui Cramer asupra curbelor algebrice, rezultă că există exact o cuartică care trece printr-un set de 14 puncte diferite aflate în poziția generală, deoarece o cuartică are 14 grade de libertate.
O cuartică poate avea maximum: 4 componente conexe; 28 de bitangente 3 puncte duble ordinare.
Se pot considera cuartice și peste alte corpuri (sau chiar inele), de exemplu peste numerele complexe. În acest fel, se obțin , care sunt obiecte unidimensionale în dar sunt bidimensionale în Un exemplu este . În plus, se pot considera curbele din date de polinoame omogene.
Exemple Diverse combinații de coeficienți din ecuația de mai sus dau naștere la diferite familii importante de curbe, așa cum sunt enumerate mai jos.
Bicorn
Lemniscată Lemniscata lui Bernoulli
Melcul lui Pascal
Curba Trott
thumb|upright=0.5|Curbă ampersand Curba ampersand Curba ampersand este o cuartică plană dată de ecuația:
Este de genul zero, cu trei puncte duble ordinare, toate în planul real.
thumb|upright=0.5| Curbă bob de fasole Curba bob de fasole Curba bob de fasole este o cuartică plană dată de ecuația:
Este de genul zero. Are o singularitate în origine, un punct triplu ordinar.
thumb|upright=0.5| Curbă bicuspidă Curba bicuspidă Curba bicuspidă este o cuartică plană dată de ecuația:
unde a determină mărimea curbei.
Curba bicuspidă are două puncte de întoarcere, prin urmare este de genul 1.
thumb|upright=0.8| Curbă nod
Curba nod Curba nod este o cuartică plană dată de ecuația:
Curba nod are un singur punct triplu în x=0, y=0, prin urmare este o curbă rațională de genul zero.
Curba cruciformă Curba cruciformă este o cuartică plană dată de ecuația:
unde a și b sunt doi parametri care determină forma curbei.
Curba cruciformă este legată printr-o transformare pătratică standard, x ↦ 1/x, y ↦ 1/y a elipsei a2x2 + b2y2 = 1, deci este o plană rațională de genul zero. Curba cruciformă are trei puncte duble în , în x=0 și y=0, x=0 și z=0 și y=0 și z=0.
Deoarece curba este rațională, poate fi parametrizată prin funcții raționale. De exemplu, dacă a=1 și b=2, atunci
parametrizează punctele de pe curbă în afara cazurilor excepționale în care un numitor este zero.
thumb|upright=0.8| Secțiune spirică Secțiunea spirică Secțiunile spirice pot fi definite drept curbe cuartice bicirculare care sunt simetrice față de axele x și y. Secțiunile spirice sunt cuprinse în familia și cuprind familia și familia . Numele provine din σπειρα care în greaca veche înseamnă tor.
Ecuația carteziană poate fi scrisă ca:
iar ecuația în coordonate polare ca:
Trifoliul Trifoliul este o cuartică plană cu ecuația:
Rezolvând în funcție de y, curba poate fi descrisă de următoarea funcție:
unde cele două apariții ale lui ± sunt independente una de cealaltă, dând până la patru valori distincte ale lui y pentru fiecare x.
Ecuația parametrică a curbei este: Gibson, C. G., Elementary Geometry of Algebraic Curves, an Undergraduate Introduction, Cambridge University Press, Cambridge, 2001, . Pages 12 and 78.
În coordonate polare (x = r cos φ, y = r sin φ) ecuația este
Este un caz particular de cu k = 3. Această curbă are un punct triplu în origine (0, 0) și trei tangente duble.
Note
Vezi și Bitangente ale unei cuartice
Categorie:Curbe algebrice Categorie:Curbe plane