În un număr întreg algebricGheorghe Bratu, Curs de matematici Generale, vol. 1 Matematici Elementare, Cluj, 1926, p. 2 este un număr complex care este o rădăcină complexă a unui polinom monic (un polinom al cărui coeficient determinant este 1) ai cărui coeficienți sunt numere întregi. Mulțimea tuturor numerelor întregi algebrice este închisă la adunare, scădere și înmulțire și, prin urmare, este un subinel comutativ al numerelor complexe.
Inelul numerelor întregi al unui , notat cu , este intersecția lui și : poate fi caracterizat și ca ordinul maxim din corpul . Fiecare număr întreg algebric aparține inelului de numere întregi a unui corp de numere. Un număr este un număr întreg algebric dacă și numai dacă inelul este un , adică un -.
Definiții Următoarele sunt definiții echivalente ale unui număr întreg algebric. Fie un corp de numere (adică, o extindere finită a , corpul numerelor raționale), cu alte cuvinte, pentru un număr algebric prin teorema elementului primitiv. este un număr întreg algebric dacă există un polinom monic astfel încât . este un număr întreg algebric dacă polinomul monic minimal în peste este în . este un număr întreg algebric dacă este un -modul finit generat. este un număr întreg algebric dacă există un -submodul nenul finit generat astfel încât .
Exemple Singurele numere întregi algebrice care se găsesc în mulțimea numerelor raționale sunt numerele întregi. Cu alte cuvinte, intersecția dintre și este chiar . Numărul rațional nu este un număr întreg algebric decât dacă este un divizor al lui . De reținut că coeficientul determinant al polinomului este întregul . Ca un alt caz particular, rădăcina pătrată dintr-un întreg nenegativ este un număr întreg algebric, dar este irațional cu excepția cazului în care este un pătrat perfect. Dacă este un întreg liber de pătrate, atunci extinderea este o extindere de corp pătratică de numere raționale. Inelul numerelor întregi algebrice conține deoarece aceasta este o rădăcină a polinomului monic . În plus, dacă , atunci elementul este, de asemenea, un număr întreg algebric. El satisface polinomul unde termenul constant este un număr întreg. Inelul întreg de numere întregi este generat de respectiv de . A se vedea pentru mai multe. Inelul numerelor întregi ale corpului , , are următoarea , scriind pentru doi întregi liberi de pătrate coprimi și :
Dacă este a -a rădăcină primitivă a unității, atunci inelul numerelor întregi al este chiar . Dacă este un număr întreg algebric, atunci este alt număr întreg algebric. Un polinom în se obține substituind în polinomul în .
Diverse Suma, diferența și produsul a două numere întregi algebrice este un număr întreg algebric. În general, câtul lor nu este. Polinomul monic implicat este, în general, de grad mai mare decât cel al numerelor întregi algebrice inițiale și poate fi găsit luând rezultantul și factorizarea. De exemplu, dacă , și , atunci eliminând și din și polinoamele satisfăcute de și folosind rezultantul se obține , care este ireductibil și este ecuația monică satisfăcută de produs. (Pentru a vedea că este o rădăcină a rezultatului din și , s-ar putea folosi faptul că rezultantul este conținut în idealul generat de cele două polinoame de intrare.) Orice număr care poate fi construit din numere întregi cu rădăcini, adunare și înmulțire este, prin urmare, un întreg algebric. Dar nu toate numerele întregi algebrice sunt construibile astfel: într-un sens naiv, majoritatea rădăcinilor polinoamelor de gradul al cincilea ireductibile nu sunt. Aceasta este teorema Abel–Ruffini. Orice rădăcină a unui polinom monic ai cărui coeficienți sunt numere întregi algebrice este ea însăși un număr întreg algebric. Cu alte cuvinte, numerele întregi algebrice formează un inel care este un domeniu de integritate închis în oricare dintre extinderile sale. Inelul numerelor întregi algebrice este un , ca o consecință a teoremei idealului principal. Dacă polinomul monic asociat unui număr întreg algebric are termenul constant 1 sau −1, atunci inversul acelui întreg algebric este, de asemenea, un întreg algebric și este o unitate, un element al grupului de unități al inelului de numere întregi algebrice. Orice număr algebric poate fi scris ca raportul dintre un număr întreg algebric și un număr întreg algebric diferit de zero. De fapt, numitorul poate fi întotdeauna ales să fie un întreg pozitiv. Mai exact, dacă este un număr algebric care este o rădăcină a polinomului cu coeficienți întregi și termenul principal pentru atunci este raportul așteptat. În special, este un număr întreg algebric deoarece este o rădăcină a lui , care este un polinom monic în cu coeficienți întregi.
Note
Bibliografie
Categorie:Numere algebrice Categorie:Numere întregi