thumb|upright=1.25| În matematică, o lemniscată polinomială sau curbă de nivel polinomială este o plană de gradul 2n, construită dintr-un polinom cu coeficienți complecși de grad n.
Pentru orice astfel de polinom și număr real pozitiv , se poate defini un set de numere complexe prin Această mulțime de numere poate fi echivalată cu puncte din planul cartezian real, conducând la o curbă algebrică (x, y) = c2 de gradul 2n, care rezultă din dezvoltarea în termeni de
Când este un polinom de gradul 1, atunci curba rezultată este un cerc al cărui centru este zeroul lui . Când este un polinom de gradul 2, atunci curba este un .
Lemniscata Erdős thumb|upright=1.25|Lemniscata Erdős de gradul 10 și genul 6 O conjectură a lui Paul Erdős care a suscitat un interes considerabil se referă la lungimea maximă a unei lemniscate polinomiale (x, y) = 1 de gradul 2n când este monic, despre care Erdős a presupus că a fost atins când (z) = zn − 1. Acest lucru încă nu este demonstrat, dar Alexander Fryntov și Fedor Nazarov au demonstrat că are un maxim local. În cazul în care n = 2, lemniscata Erdős devine lemniscata lui Bernoulli
și s-a demonstrat că aceasta este într-adevăr lungimea maximă pentru gradul 4. Lemniscata Erdős are trei singularități, dintre care una este în origine, și genul (n − 1)(n − 2)/2. Prin lemniscatei Erdős în cercul unitate, se obține o curbă nesingulară de grad n.
Lemniscata polinomială generică În general, o lemniscată polinomială nu se va atinge în origine și va avea doar două singularități ordinare, deci genul (n − 1)2. Ca o curbă reală, poate avea un număr de componente neconexe. Prin urmare, nu va arăta ca o lemniscată, ceea ce face ca numele să fie o denumire greșită.
Un exemplu interesant de astfel de lemniscate polinomiale sunt curbele Mandelbrot. Dacă se face și atunci lemniscatele polinomiale corespunzătoare definite de converg către frontiera mulțimii lui Mandelbrot. The Mandelbrot Curves, desmos.com, accesat 2023-06-10 Curbele Mandelbrot sunt de gradul 2n+1.
Note
Bibliografie Alexandre Eremenko, Walter Hayman, On the length of lemniscates, Michigan Math. J., (1999), 46, no. 2, 409–415 O. S. Kusnetzova, V. G. Tkachev, Length functions of lemniscates, Manuscripta Math., (2003), 112, 519–538
Categorie:Curbe plane Categorie:Curbe algebrice