În algebra abstractă o mulțime închisă multiplicativ (sau mulțime multiplicativămarius Vlădoiu, Sinteza lucrării TE 46, nr. 83/2010, anul 2011 , Universitatea din București, 2011, p. 5, accesat 2023-08-26) este o submulțime S a unui inel R în care sunt valabile următoarele două condiții:Atiyah and Macdonald, p. 36.Lang, p. 107. , pentru toți . Cu alte cuvinte, S este închisă pentru produsele finite, inclusiv 1.Eisenbud, p. 59. Echivalent, o mulțime multiplicativă este un submonoid al monoidului multiplicativ al unui inel.
Mulțimile multiplicative sunt importante mai ales în algebra comutativă, unde sunt folosite pentru a construi de inele comutative.
O submulțime S a unui inel R se spune că este saturată dacă este închisă pentru diviziune: adică, ori de câte ori un produs xy este în S, elementele x și y sunt și ele în S.
Exemple Exemple de mulțimi multiplicative: complementara unui ideal prim dintr-un inel comutativ; mulțimea , unde x este un element al unui inel; mulțimea unităților unui inel; mulțimea divizorilor dintr-un inel care nu sunt divizori ai lui zero; 1 + I pentru un ideal I; numerele Jordan–Pólya, închiderea multiplicativă a factorialelor.
Proprietăți Un ideal P al unui inel comutativ R este prim dacă și numai dacă complementara sa este închisă multiplicativ. O submulțime S este atât saturată, cât și închisă multiplicativ dacă și numai dacă S este complementara unei reuniuni de ideale prime.Kaplansky, p. 2, Theorem 2. În special, complementara unui ideal prim este atât saturată, cât și închisă multiplicativ. Intersecția unei familii de mulțimi multiplicative este o mulțime multiplicativă. Intersecția unei familii de mulțimi saturate este saturată.
Note
Bibliografie M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley, 1969. David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Springer, 1995.
Serge Lang, Algebra 3rd ed., Springer, 2002.
Categorie:Algebră comutativă