În matematică, mai exact în , un idealCosmin Pelea, Algebră (curs 4), Universitatea Babeș-Bolyai, accesat 2023-08-01Aurelian Claudiu Volf, Aritmetica în inele (curs, p. 121), Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2023-05-09 (plural: ideale) al unui inel este o submulțime particulară a elementelor sale. Idealele generalizează anumite submulțimi de numere întregi, cum ar fi numerele pare sau multiplii lui 3. Adunarea și scăderea numerelor pare conservă egalitatea și înmulțirea unui număr par cu orice număr întreg (par sau impar) rezultă un număr par; aceste închideri și proprietăți de absorbție sunt proprietățile care definesc un ideal. Un ideal poate fi folosit pentru a construi un inel factor similar cu modul în care în teoria grupurilor un poate fi folosit pentru a construi un grup factor.
În numerele întregi, idealele corespund biunivoc cu numerele întregi nenegative: în acest inel, orice ideal este un ideal principal format din multiplii unui singur număr nenegativ. Totuși, în alte inele idealele pot să nu corespundă direct elementelor inelului, iar anumite proprietăți ale numerelor întregi, atunci când sunt generalizate la inele, se atașează mai natural la ideale decât la elementele inelului. De exemplu, idealele prime ale unui inel sunt analoge cu numerele prime, iar teorema chinezească a resturilor poate fi generalizată la ideale. Există o versiune a factorizării prime unice pentru idealele unui (un tip de inel important în teoria numerelor).
Conceptul înrudit, dar distinct, al unui în este derivat din noțiunea de ideal din teoria inelelor. Un ideal fracționar este o generalizare a unui ideal, iar pentru claritate idealele obișnuite sunt uneori numite ideale întregiCostel Gabriel Bontea, Corpuri cu divizori primi, Institutul de Matematică „Simion Stoilow” al Academiei Române, 11 septembrie 2012, accesat 2023-10-22, p. 8.
Istoric Ernst Kummer a introdus noțiunea de numere ideale pentru a servi drept factori „lipsă” în inelele de numere în care factorizarea unică eșuează; aici cuvântul „ideal” este în sensul de a exista doar în imaginație, în analogie cu obiectele „ideale” din geometrie, cum ar fi punctele de la infinit. În 1876, Richard Dedekind a înlocuit conceptul nedefinit al lui Kummer cu mulțimi concrete de numere, mulțimi pe care le-a numit ideale, în cea de-a treia ediție a cărții lui Dirichlet, Vorlesungen über Zahlentheorie, la care Dedekind adăugase multe suplimente. Mai târziu, noțiunea a fost extinsă de David Hilbert și în special de Emmy Noether dincolo de inelele numerice, pentru inelele polinomiale și a altor inele comutative.
Definiție și motivare Pentru un inel arbitrar , fie grupul aditiv. O submulțime se numește ideal stângTiberiu Dumitrescu, Algebra 1 (curs, p. 66), Universitatea din București, accesat 2023-05-09 al lui dacă este un subgrup aditiv al care „absoarbe înmulțirea la stânga a elementelor lui "; adică este un ideal stâng dacă îndeplinește următoarele două condiții: este un subgrup al pentru orice și orice , produsul este în .
Un ideal drept este definit prin înlocuirea condiției cu condiția . Un ideal bilateral este un ideal stâng care este și ideal drept, și uneori este numit, simplu, ideal. În limbajul , definițiile înseamnă că un ideal stâng (respectiv drept, bilateral) al lui este un -submodul al lui când este văzut ca un -modul stâng (respectiv drept, bilateral). Când este un inel comutativ, definițiile idealului stâng, drept și bilateral au același rezultat, iar termenul de ideal este folosit singur.
Pentru a înțelege noțiunea de ideal, se consideră modul în care apar idealele în construcția inelelor de „elemente modulo”. Concret, fie inelul al numerelor întregi modulo și un număr întreg ( este un inel comutativ). Observația cheie aici este că se obține luând șirul întregilor și înfășurându-l în jurul său, astfel încât diferite numere întregi să fie echivalate. În acest sens, trebuie îndeplinite 2 cerințe:
1) trebuie echivalat (aliniat) cu 0 deoarece este congruent cu 0 modulo .
2) structura rezultată trebuie să fie și ea un inel.
A doua cerință obligă la echivalări suplimentare (adică, determină modul precis în care trebuie înfășurat în jurul său). Noțiunea de ideal apare atunci când se pune întrebarea: Care este mulțimea exactă de numere întregi care trebuie echivalată cu 0? Răspunsul este, fără a fi surprinzător, că este mulțimea formată din toate numerele întregi congruente cu 0 modulo . Adică trebuie înfășurată în jurul său de nenumărate ori, astfel încât numerele întregi vor fi aliniate cu 0. Dacă se examinează ce proprietăți trebuie să aibă această mulțime pentru ca să fie un inel, atunci se ajunge la definiția unui ideal. Într-adevăr, se poate verifica direct că este un ideal al lui .
Notă. Trebuie făcute și echivalări cu alte elemente decât 0. De exemplu, elementele din trebuie echivalate cu 1, elementele din trebuie echivalate cu 2 și așa mai departe. Acestea, totuși, sunt determinate în mod unic de deoarece este un grup aditiv.
Se poate face o construcție similară în orice inel comutativ : se începe cu un arbitrar și apoi se echivalează cu 0 toate elementele idealului . Se pare că idealul este cel mai mic ideal care conține , numit ideal generat de . În general se poate începe cu o submulțime arbitrară și apoi să se echivaleze cu 0 toate elementele din idealul generat de : cel mai mic ideal astfel încât . Inelul obținut după echivalare depinde doar de idealul și nu de mulțimea cu care s-a început. Adică, dacă , atunci inelele rezultate vor fi identice.
Prin urmare, un ideal al unui inel comutativ captează canonic informațiile necesare pentru a obține inelul de elemente ale lui modulo o submulțime dată . Elementele lui sunt, prin definiție, acelea care sunt congruente cu zero, adică echivalate cu zero în inelul rezultat. Inelul rezultat se numește inelul factor din prin și este notat . Intuitiv, definiția unui ideal postulează două condiții naturale necesare pentru ca să conțină toate elementele desemnate drept „zerouri” de către : este un subgrup aditiv al : zeroul 0 al este un „zero” iar dacă și sunt „zerouri”, atunci este și el un „zero". Orice înmulțit cu un „zero” este un „zero” .
Se pare că condițiile de mai sus sunt și suficiente pentru ca să conțină toate „zerourile” necesare: niciun alt element nu trebuie să fie desemnat ca „zero” pentru a forma . (De fapt, niciun alt element nu ar trebui desemnat ca „zero” dacă se dorește să se facă cât mai puține echivalări.)
Notă. Construcția de mai sus funcționează și pentru idealele bilaterale, chiar dacă nu este neapărat comutativ.
Exemple și proprietăți (Pentru simplitate, unele rezultate sunt menționate numai pentru idealele stângi, dar de obicei sunt adevărate și pentru idealele drepte cu modificările corespunzătoare ale notațiilor.) Într-un inel , mulțimea în sine formează un ideal bilateral numit ideal unitate. Este adesea notat și cu , deoarece este tocmai idealul bilateral generat (v. mai jos) de unitatea . De asemenea, mulțimea constând doar din formează un ideal bilateral numit ideal nul, notat cu . (Unii autori numesc idealele zero și unitate ale unui inel idealele triviale ale lui .) Orice ideal (stâng, drept sau bilateral) conține idealul nul și este conținut în idealul unitate.Dummit, Foote, 2004, p. 243 Un ideal (stâng, drept sau bilateral) care nu este idealul unitate este numit ideal propriu (deoarece este o submulțime proprie).Lang, 2005, Section III.2 Notă: un ideal stâng este propriu dacă și numai dacă nu conține un element unitate, deoarece dacă este un element unitate, atunci pentru orice . De obicei există o mulțime de ideale potrivite. De fapt, dacă este un inel cu diviziune, atunci sunt singurele sale ideale și invers: adică un inel nenul este un inel cu diviziune dacă sunt singurele ideale stângi (sau drepte). (Demonstrație: dacă este un element nenul, atunci idealul stâng principal (v. mai jos) este nenul, prin urmare ; adică pentru unele elemente nenule. La fel, pentru unele elemnte nenule. Atunci .) Numerele întregi pare formează un ideal în inelul al numerelor întregi, deoarece suma oricăror două numere întregi pare este pară, iar produsul oricărui întreg cu un întreg par este și el par; acest ideal este de obicei notat cu . În general, mulțimea tuturor numerelor întregi divizibile cu un întreg este un ideal notat . De fapt, orice ideal nenul al inelului este generat de cel mai mic element pozitiv al său, ca o consecință a teoremei împărțirii cu rest, deci este un .Dummit, Foote, 2004, p. 243 Mulțimea tuturor polinoamelor cu coeficienți reali care sunt divizibile cu polinomul este un ideal în inelul polinoamelor cu coeficienți reali . Fie un inel și un întreg pozitiv . Pentru orice , mulțimea tuturor matricilor cu elemente din a căror linie este zero este un ideal drept în inelul matricelor cu elemente din . Nu este un ideal stâng. Similar, pentru fiecare , mulțimea tuturor matricelor a căror coloană este zero este un ideal stâng, dar nu un ideal drept. Inelul al funcțiilor continue de la la pentru înmulțirea punctuală conține idealul tuturor funcțiilor continue astfel încât .Dummit, Foote, 2004, p. 244 Un alt ideal în este dat de acele funcții care se anulează pentru argumente suficient de mari, adică acele funcții continue pentru care există un număr astfel încât ori de câte ori Un inel se numește inel simplu dacă este nenul și nu are alte ideale bilaterale decât . Astfel, un inel cu diviziune este simplu și un inel comutativ simplu este un corp. peste un inel cu diviziune este un inel simplu. Dacă este un , atunci nucleul este un ideal bilateral al lui .Dummit, Foote, 2004, p. 243 Prin definiție, , astfel, dacă nu este inelul nul (deci ), atunci este un ideal propriu. În general, pentru fiecare ideal stâng din , preimaginea este un ideal stâng. Dacă este un ideal stâng al lui , atunci este un ideal stâng al subinelului al lui : cu excepția cazului în care este surjectivă, nu trebuie să fie un ideal al lui ; v. și extinderea și contracția unui ideal mai jos. Corespondența idealului: Fiind dat un homomorfism de inele surjectiv , există o corespondență bijectivă de păstrare a ordinii între idealele stângi (respectiv dreapte, bilaterale) a care conține nucleul și idealele stângi (respectiv dreapte, bilaterale) ale lui : corespondența este dată de și preimaginea . Mai mult, pentru inelele comutative, această corespondență bijectivă se limitează la idealele prime, la idealele maximale și la idealele radicale (v. secțiunea Tipuri de ideale pentru definițiile acestor ideale). Dacă este un -modul stâng iar o submulțime, atunci anulatorul din este un ideal stâng. Fie un lanț ascendent de ideale stângi într-un inel ; adică este o mulțime total ordonată și pentru orice . Atunci reuniunea este un ideal stâng al lui . (Notă: acest fapt rămâne adevărat chiar dacă este fără unitatea 1.) Faptul de mai sus împreună cu lema lui Zorn demonstrează următoarele: dacă este o submulțime posibil vidă și este un ideal stâng care este disjunct de , atunci între idealele care conțin și disjunct de există un ideal care este maximal. (Din nou, acest lucru este valabil dacă inelului îi lipsește unitatea 1.) Când , luând și , există între idealele stângi proprii un ideal stâng care este maximal (numit adesea ideal stâng maximal); vezi teorema lui Krull pentru mai multe. O reuniune arbitrară de ideale nu trebuie să fie un ideal, dar afirmația următoarele este, totuși, adevărată: fie o submulțime posibil vidă din , există cel mai mic ideal stâng care conține pe , numit idealul stâng generat de și este notat cu . Un astfel de ideal există deoarece este intersecția tuturor idealelor stângi care conțin ăe . Echivalent, este mulțimea tuturor -combinații liniare stângi (finite) ale elementelor lui peste :