+ Exemple de poliedre120pxTetraedru regulat poliedru platonic120pxMicul dodecaedru stelat poliedru Kepler–Poinsot120pxIcosidodecaedru poliedru arhimedic120pxMarele cubicuboctaedru poliedru stelat uniform120pxTriacontaedru rombic poliedru Catalan120pxpoliedru toroidal În geometrie, un poliedru este o formă tridimensională formată din fețe poligonale plane, care se întâlnesc în muchii (laturi în geometria multidimensională), care la rândul lor se întâlnesc în vârfuri. Exemple de poliedre sunt cubul, tetraedrul, paralelipipedul etc. Cuvântul provine din limba , fiind format din prefixul poli- (din πολύς, ) și -edru (din , ). Poliedrele sunt cazuri particulare, tridimensionale, ale politopurilor din spațiile multidimensionale. În două dimensiuni echivalentul poliedrului este poligonul.
Un poliedru este convex dacă anvelopa sa este convexă. Exemple de poliedre convexe sunt cubul, piramida etc.
Un poliedru este regulat dacă toate vârfurile, laturile și fețele sale sunt la fel, în sensul că există o operație de simetrie care transformă orice vârf în alt vârf etc. Există doar cinci poliedre regulate, cunoscute și sub numele de corpuri platonice.
Definiție thumb|Un poliedru scheletic (un rombicuboctaedru) desenat de Leonardo da Vinci pentru a ilustra o carte de Luca Pacioli Poliedrele convexe sunt bine definite, cu mai multe definiții standard echivalente. Cu toate acestea, definiția matematică formală a poliedrelor care nu sunt necesar convexe a fost problematică. Multe definiții ale „poliedrului” au fost date în contexte particulare, . unele mai riguroase decât altele și nu există un acord universal cu privire la care dintre acestea să fie aleasă. Unele dintre aceste definiții exclud forme care adesea au fost considerate poliedre (cum ar fi poliedrele stelate) sau includ forme care adesea nu sunt considerate poliedre (cum ar fi corpurile ale căror frontiere nu sunt varietăți). După cum a observat Branko Grünbaum,
Cu toate acestea, există un acord general că un poliedru este un corp sau o suprafață care poate fi descrisă prin vârfurile (puncte din colțuri), muchiile (segmente de dreaptă care leagă anumite perechi de vârfuri) și fețele (poligoane bidimensionale) sale, și că uneori poate se spune că are un volum interior tridimensional specific. Se poate vedea dacă aceste definiții diferite descriu poliedrul ca un corp, dacă îl descriu ca o suprafață sau dacă îl descriu mai abstract pe baza geometriei sale de incidență.
O definiție obișnuită și oarecum naivă a unui poliedru este aceea că este un corp a cărui frontieră poate fi acoperită de un număr finit de planuri . sau că este un corp format din reuniunea finită a mai multor poliedre convexe. Rafinările naturale ale acestei definiții necesită ca corpul să fie delimitat, să aibă un interior conectat și, eventual, să aibă și o frontieră conectată. Fețele unui astfel de poliedru pot fi definite drept părți ale frontierei conectate din cadrul fiecărui plan care îl acoperă, iar muchiile și vârfurile ca segmentele de linie și punctele în care se întâlnesc fețele. Însă poliedrele definite în acest mod nu includ poliedrele stelate, care se autointersectează și ale căror fețe nu pot forma poligoane simple și unele dintre cele ale căror muchii pot aparține la mai mult de două fețe. .
Definițiile bazate pe ideea unei suprafețe de delimitare mai degrabă decât pe a unui corp sunt, de asemenea, comune.Cromwell (1997), pp. 206–209. De exemplu, definește un poliedru drept o reuniune de poligoane convexe (fețele sale), dispuse în spațiu astfel încât intersecția oricăror două poligoane să fie un vârf, sau o muchie comună, sau o mulțime vidă astfel încât reuniunea lor să fie o varietate. . Dacă o parte plană a unei astfel de suprafețe nu este ea însăși un poligon convex, O'Rourke cere să fie împărțit în poligoane convexe mai mici, cu unghiuri diedre de 180° între ele (adică să fie în același plan). Oarecum mai general, Grünbaum definește un poliedru acoptic drept o colecție de poligoane simple care formează o varietate încorporată, având cel puțin câte trei muchii incidente în fiecare vârf și fiecare două fețe care se intersectează o fac numai în vârfurile și muchiile comune. Lucrarea „Poliedrele” a lui Cromwell oferă o definiție similară, dar fără restricția a cel puțin trei muchii per vârf. Din nou, acest tip de definiție nu acoperă poliedrele cu autointersectare., p. 209. Noțiuni similare formează baza definițiilor topologice ale poliedrelor, ca subdiviziuni ale unei varietăți topologice de discuri topologice (fețele) ale căror intersecții în perechi trebuie să fie puncte (vârfuri), arce topologice (muchii) sau mulțimea vidă. Însă există poliedre topologice (chiar și cu toate fețele triunghiulare) care nu pot fi realizate ca poliedre acoptice.
O abordare modernă se bazează pe teoria . Acestea pot fi definite ca ale căror elemente sunt vârfurile, muchiile și fețele unui poliedru. Un vârf sau un element al unei muchii este mai mic dimensional decât o muchie sau un element al unei fețe (în această ordine parțială) atunci când vârful este parte a muchiei, respectiv muchia este parte a feței. În plus, în această ordine parțială se poate include un element special inferior (reprezentând mulțimea vidă) și un element superior reprezentând întregul poliedru. Dacă secțiunile ordinii parțiale dintre elementele de pe cele trei niveluri (adică între elementul superior și fiecare față, respectiv între fiecare vârf și elementul inferior) au aceeași structură ca reprezentarea abstractă a unui poligon, atunci aceste mulțimi parțial ordonate conțin exact aceleași informații ca și un poliedru topologic. Totuși, adesea aceste cerințe sunt relaxate pentru a cere în schimb doar ca secțiunile dintre elementele aflate la două niveluri să aibă aceeași structură ca și reprezentarea abstractă a unui segment de linie. . (Asta înseamnă că fiecare muchie conține două vârfuri și aparține la două fețe și că fiecare vârf de pe o față aparține la două muchii ale feței respective.) Poliedrele geometrice, definite în alte moduri, pot fi descrise în mod abstract în acest mod, dar este posibilă și utilizarea poliedrelor abstracte ca bază a definiției poliedrelor geometrice. Realizarea unui poliedru abstract este în general considerată a fi o asociere a vârfurilor poliedrului abstract cu puncte geometrice astfel încât punctele fiecărei fețe să fie coplanare. Astfel, un poliedru geometric poate definit ca o realizare a unui poliedru abstract., pp. 468–469 Au fost luate în considerare și realizări care omit cerința planarității, care impun cerințe suplimentare de simetrie sau care asociază vârfurile cu puncte din spații cu dimensiuni superioare. Spre deosebire de definițiile bazate pe corp și pe suprafață, această definiție funcționează perfect pentru poliedrele stelate. Totuși, fără restricții suplimentare această definiție admite poliedre degenerate (de exemplu prin asocierea tuturor vârfurilor cu un singur punct) și nu a fost rezolvată problema care ar fi constrângerile la realizare care ar evita aceste degenerări.
În toate aceste definiții, un poliedru este de obicei înțeles ca un caz particular tridimensional al politopului, care este o generalizare în orice număr de dimensiuni. De exemplu, un poligon are un „corp” bidimensional și nu are „fețe”, în timp ce un 4-politop are un corp în patru dimensiuni și o varietate suplimentară de elemente tridimensionale celulele. Cu toate acestea, o parte din literatura de specialitate despre geometria dimensional superioară folosește termenul „poliedru” pentru a însemna altceva: nu un politop tridimensional, ci o formă într-un fel diferită de un politop. De exemplu, unele surse definesc un poliedru convex ca fiind intersecția unui număr finit de semispații și un politop ca un poliedru cu marginile extinse. . .
Restul acestui articol tratează doar poliedrele tridimensionale.
Caracteristici Numărul fețelor Poliedrele pot fi clasificate și sunt adesea denumite în funcție de numărul fețelor. Sistemul de denumire se bazează pe greaca clasică, de exemplu tetraedru (un poliedru cu patru fețe), pentaedru (cinci fețe), hexaedru (șase fețe), icosaedru (20 de fețe) etc.
Clasificare topologică
thumb|Poliedru cu fețe patrulatere în formă de sticla lui Klein (care se autointersectează) Suprafața unor poliedre are două fețe distincte. De exemplu, interiorul și exteriorul unui model de hârtie a unul poliedru convex pot fi colorate diferit (deși culoarea dinspre interior va fi ascunsă vizualizării). Aceste poliedre sunt orientabile. Același lucru este valabil și pentru poliedrele neconvexe fără autointersectări. Unele poliedre neconvexe care se autointersectează pot fi colorate în același mod, dar au regiuni întoarse „în afară” astfel încât ambele culori să apară în exterior în locuri diferite; și acestea sunt considerate orientabile. Cu toate acestea, pentru alte poliedre cu autointersectare cu fețe poligonale simple, cum ar fi tetrahemihexaedrul, nu este posibil să fie colorate fețele pe față și pe verso cu două culori diferite astfel încât fețele adiacente să aibă aceleași culori în continuare. În acest caz, se spune că poliedrul este neorientabil. Pentru poliedre cu fețe autointersectate este posibil să nu fie clar ce înseamnă ca fețele adiacente să fie colorate „în continuare”, dar pentru aceste poliedre este încă posibil să se determine dacă este orientabil sau neorientabil, luând în considerare un CW complex cu aceleași incidențe între vârfurile, marginile și fețele sale.
O distincție mai subtilă între suprafețele poliedrului este dată de caracteristica lor Euler, care combină numărul de vârfuri , muchiile și fețele ale unui poliedru în un singur număr definit de formula
Aceeași formulă este utilizată și pentru caracteristica Euler a altor tipuri de suprafețe topologice. Este un invariant al suprafeței, ceea ce înseamnă că atunci când o singură suprafață este subdivizată în vârfuri, muchii și fețe în mai multe moduri, caracteristica Euler va fi aceeași pentru aceste subdiviziuni. Pentru un poliedru convex sau, mai general, orice poliedru simplu conectat cu suprafața unei sfere topologice, este întotdeauna egal cu 2., p. 157. Pentru forme mai complicate, caracteristica Euler se referă la numărul de orificii toroidale sau intersectări ale suprafețelor și va fi mai mică de 2., p. 180. Toate poliedrele cu caracteristică Euler cu număr impar sunt neorientabile. O figură dată cu caracteristică Euler pară poate fi orientabilă sau nu. De exemplu, toroidul cu un singur orificiu și sticla lui Klein au ambele , primul fiind orientabil iar celălalt nu.
Pentru multe (dar nu pentru toate) modalitățile de definire a poliedrelor, suprafața poliedrului trebuie să fie o varietate. Acest lucru înseamnă că fiecare muchie este o parte a frontierei între exact două fețe (interzicând formele cum ar fi reuniunea a două cuburi care se întâlnesc doar de-a lungul unei muchii comune) și că fiecare vârf este incident la un singur ciclu alternant de muchii și fețe (interzicând forme ca reuniunea a două cuburi care au doar un vârf comun). Pentru poliedre definite în aceste moduri, implică faptul că tipul topologic al suprafeței este complet determinat de combinația caracteristicii sale Euler și orientabilitate. De exemplu, orice poliedru a cărui suprafață este o varietate orientabilă și a cărei caracteristică Euler este 2 trebuie să fie o sferă topologică.
Un poliedru toroidal este un poliedru a cărui caracteristică Euler este mai mică sau egală cu 0, sau, echivalent, al cărui gen al suprafeței este 1 sau mai mare. Topologic, suprafețele unor astfel de poliedre sunt suprafețe în formă de tor având una sau mai multe orificii.
Dualitate
thumb|Octaedrul este dualul cubului Pentru fiecare poliedru convex, există un poliedru dual având fețele în locul vârfurilor poliedrului inițial și invers, și același număr de muchii.