Dualitatea Serre este un rezultat din geometria algebrică legat de coomologia fasciculelor coerente (în particular a fibratelor vectoriale) pe varietăți proiective nesingulare. Acest rezultat admite diverse generalizări, atât pentru coomologia fasciculelor coerente pe varietăți singulare, cât și în geometria complexă în contextul coomologiei Dolbeault.
Enunț Fie o varietate proiectivă nesingulară de dimensiune peste un corp algebric închis , un fascicul coerent pe și fasciculul canonic al lui . Atunci pentru orice avem izomorfismul natural de -spații vectoriale , unde reprezintă dualul spațiului vectorial .
În cazul în care este un fascicul local liber, izomorfismul anterior se reduce la , unde este dualul lui . În cazul în care este o schemă proiectivă Cohen-Macaulay de dimensiune peste un corp algebric închis cu proprietatea că toate componentele sale ireductibile au aceeași dimensiune, au loc aceleași izomorfisme naturale ca în paragraful anterior, cu mențiunea că este de data aceasta fascicul dualizant pentru .
Importanță Dualitatea Serre este utilă în simplificarea anumitor calcule de coomologie, în special în contextul teoremei Riemann-Roch și al extinderilor sale. Spre exemplu, dacă este o curbă proiectivă nesingulară de gen și un fibrat în drepte pe , dualitatea Serre ne spune că , în particular că cele două spații vectoriale au aceeași dimensiune. Astfel, enunțul teoremei Riemann-Roch:
se poate rescrie ca:
unde cu notăm dimensiunea spațiilor vectoriale .
Note
Categorie:Geometrie algebrică