miniatura|Transformata Fourier leagă domeniul timp, în roșu, de o funcție din domeniul frecvenței, în albastru. Frecvențele componente, extinse pe întreg spectrul de frecvență, sunt reprezentate ca vârfuri în domeniul frecvenței. În matematică transformata Fourier (numită astfel după matematicianul și fizicianul Joseph Fourier) este o operație care se aplică unei funcții complexe și produce o altă funcție complexă care conține aceeași informație ca funcția originală, dar reorganizată după frecvențele componente. De exemplu, dacă funcția inițială este un semnal dependent de timp, transformata sa Fourier descompune semnalul după frecvență și produce un spectru al acestuia. Același efect se obține dacă funcția inițială are ca argument poziția într-un spațiu uni- sau multidimensional, caz în care transformata Fourier relevă spectrul uni- sau multidimensional al frecvențelor spațiale care alcătuiesc funcția de intrare.
Definiție Există mai multe formule pentru calculul transformatei Fourier, care diferă între ele prin amplitudinea rezultatului, scalarea sau semnul frecvenței. Una din formulele cele mai utilizate este:
În anumite condiții din transformata Fourier se poate recupera complet funcția inițială aplicînd transformata Fourier inversă:
Din punct de vedere conceptual argumentul ξ reprezintă o frecvență, în timp ce x reprezintă o dimensiune (temporală sau spațială).
Transformata Fourier a funcției f se poate nota simbolic sau F = TF(ƒ).
Această capacitate a transformatei Fourier de reorganizare a informației după frecvențe (temporale, spațiale sau de alt fel) este extrem de utilă în prelucrarea semnalelor de diverse tipuri, la înțelegerea proprietăților unui mare număr de sisteme fizice, la rezolvarea unor ecuații și în alte domenii științifice teoretice și aplicate.
În multe cazuri este posibil să definim transformata Fourier în funcție de mai multe variabile, fiind importantă în fizică la studiul formei undelor și optică. De asemenea este posibil să generăm transformata Fourier pe structuri discrete, precum grupurile finite, și un calculul eficient care, prin transformata Fourier rapidă, este esențial în calculele de mare viteză.
Introducere Motivul folosirii transformatei Fourier vine de la studiul seriilor Fourier. Prin studiul acestor serii, funcții periodice complicate sunt scrise ca simple sume de unde matematice reprezentate prin funcțiile sinus și cosinus. Datorită proprietăților acestor funcții este posibil să revenim la valoarea fiecărei unde din sumă printr-o integrală. În multe cazuri se dorește folosirea formulei lui Euler, care se scrie sub forma e2πiθ = cos 2πθ + i sin 2πθ, pentru a scrie seria Fourier în termenii undelor de bază e2πiθ. Această scriere are avantajul simplificării multor formule implicate în calcul, precum și furnizarea unei formulări pentru seria Fourier mult mai apropiată de definiția din acest articol. Trecerea de la sinus și cosinus la exponențiala complexă face necesară utilizarea coeficienților Fourier complecși. În mod uzual, interpretarea acestor numere complexe este aceea că, se dau amplitudinea undei precum și faza sau unghiul inițial al undei. Această trecere introduce și necesitatea frecvenței negative. Dacă θ este măsurat în secunde atunci undele e2πiθ și e−2πiθ trebuie să parcurgă amândouă un cerc complet pe secundă, dar reprezintă frecvențe diferite în transformarea Fourier.
Folosim seriile Fourier pentru a motiva transformata Fourier după cum urmează. Presupunem că ƒ este o funcție care are valoare zero în afara intervalului [−L/2, L/2]. Atunci putem expanda pe ƒ în serie Fourier pe intervalul [−T/2,T/2], în care mărimea notată cu cn a undei e2πinx/T din seria Fourier a lui ƒ este dată de:
iar ƒ este dată de formula:
Dacă scriem let ξn = n/T, iar Δξ = (n + 1)/T − n/T = 1/T, atunci această ultimă sumă devine suma Riemann
Făcând ca T → ∞ suma Riemann converge către integrala transformării Fourier inverse dată la secțiunea Definiție. În condiții convenabile acest argument poate fi dat cu precizie . Prin urmare, ca și în cazul seriilor Fourier, transformarea Fourier poate fi gândită ca o funcție care măsoară cât de mult este prezentă în funcție fiecare frecvență individuală și putem recombina aceste unde folosind o integrală pentru a reproduce funcția originală.
Următoarea imagine furnizează o ilustrare vizuală a modului cum transformarea Fourier măsoară dacă o frecvență este prezentă într-o funcție oarecare. Funcția desenată este , care oscilează cu frecvența de 3 hertz (t fiind măsurat în secunde) și tinde rapid către zero. Această funcție a fost aleasă special pentru ca partea reală transformării Fourier să fie ușor de plotat. Această imagine este plotată în primul grafic. Pentru a calcula trebuie să integrăm e−2πi(3t)ƒ(t). A doua imagine arată graficul părților reale și imaginare al acestei funcții. Partea reală a integralei este pozitivă, deoarece când ƒ(t) este negativă, atunci partea reală a lui e−2πi(3t) este de asemenea negativă. Deoarece ele oscilează în același ritm, când ƒ(t) este pozitivă, la fel este și partea reală a lui e−2πi(3t). Rezultatul este acela că, atunci când este integrată partea reală, se obține o valoare relativ mare (în acest caz 0.5). Pe de altă parte, când încercăm să măsurăm o frecvență care nu este prezentă, precum în cazul în care privim spre , integrantul oscilează suficient ca integrala să fie foarte mică. Situația generală poate fi un pic mai complicată decât aceasta, dar acest lucru este făcut în spiritul în care transformata Fourier măsoară cât de mult o frecvență individuală este prezentă într-o funcție ƒ(t).
Proprietăți ale transformatei Fourier O funcție integrabilă este o funcție ƒ pe dreapta reală care este măsurabilă Lebesgue și satisface:
Proprietăți de bază Fiind date funcțiile integrabile f(x), g(x) și h(x), notăm transformatele lor Fourier respectiv prin , și . Transformarea Fourier are următoarele proprietăți de bază .
Liniaritate Pentru orice numere complexe a și b, dacă h(x) = aƒ(x) + bg(x), atunci Deplasare în timp (translație) Pentru orice număr real x0, dacă h(x) = ƒ(x − x0), atunci Deplasare în spectru (modulație) Pentru orice număr real ξ0, dacă h(x) = e2πixξ0ƒ(x), atunci . Schimbare de scală Pentru un număr real a≠0, dacă h(x) = ƒ(ax), atunci . Cazul a = −1 conduce la proprietatea inversării timpului, care arată că: dacă h(x) = ƒ(−x), atunci . Conjugata Dacă , atunci În particular, dacă ƒ este real, atunci avem condiția reală Dacă ƒ este pur imaginar, atunci Convoluția în timp Dacă , atunci Convoluția în frecvență Dacă , atunci Derivarea în timp Dacă , atunci Integrarea în timp Dacă , atunci Conservarea energiei Transformata Fourier conservă energia semnalului
Uniform continuitatea și lema Riemann-Lebesgue
Transformata Fourier a funcțiilor integrabile au proprietăți suplimentare care nu sunt valabile totdeauna. Transformatele Fourier ale funcțiilor integrabile ƒ sunt uniform continue și . De asemenea aceste funcții satisfac lema Riemann-Lebesgue care stabilește că :
Transformata Fourier a unei funcții integrabile ƒ este mărginită și continuă, dar nu neapărat integrabilă. De exemplu, transformata Fourier a funcției dreptunghiulare (care este o funcție treaptă și deci integrabilă) este funcția sinc, care nu este integrabilă Lebesgue, cu toate că are o integrală improprie care este convergentă, dar nu absolut convergentă.
În general nu este posibil transformarea inversă ca o integrală Lesbesgue. Totuși, când ƒ și sunt integrabile, următoarea egalitate inversă este adevărată pentru aproape toate valorile x:
Aproape peste tot ƒ este egală cu funcția continuă dată de partea dreaptă a egalului, Dacă ƒ este dată ca funcție continuă pe dreaptă, atunci egalitatea este valabilă pentru toate valorile x.
O consecință a rezultatului precedent este aceea că transformata Fourier este injectivă pe spațiul L1(R).
Teorema lui Plancherel și a lui Parseval Fie f(x) și g(x) integrabile și fie și transformatele lor Fourier. Dacă f(x) și g(x) sunt pătrat integrabile, atunci aven teorema lui Parseval :
în care bara de deasupra denotă complex conjugata.
Teorema lui Plancherel, care este echivalentă cu teorema lui Pearceval, stabilește că :
Teorema lui Planchenel face posibilă definirea transformatei Fourier pentru funcții din L2(R), după cum este descris în articolul de față la capitolul Generalizări. În fizică interpretarea teoremei lui Planchenel este aceea că transformarea Fourier conservă energia.
Vezi și dualitatea Pontryagin pentru o formulare generală a acestui concept în contextul grupului abelian local compact.
Formula de sumare Poisson
Formula de sumare Poisson furnizează o legătură între studiul transformatei Fourier și seriile Fourier. Fiind dată o funcție integrabilă ƒ putem considera periodizarea lui ƒ dată de:
în care sumarea este făcută pentru toți intregii k. Formula de sumare Poisson leagă seria Fourier a lui de transformarea Fourier a lui , și anume stabilește că seria Fourier este dată de:
Teorema convoluției
Transformarea Fourier efectuează o translație între convoluție și înmulțire funcțiilor. Dacă ƒ(x) și g(x) sunt funcți integrabile cu transformatele Fourier și , atunci transformata Fourier a convoluției este dată de produsul transformatelor Fourier.
Aceast lucru înseamnă că, dacă:
în care * denotă operația de convoluție, atunci:
În teoria sistemului invariant liniar în timp (LTI), în mod obișnuit g(x) este interpretată ca răspunsul impuls al unui sistem LTI având intrarea ƒ(x) și ieșirea h(x), deoarece substituind impulsul unitate pentru ƒ(x) obținem h(x) = g(x). În acest caz reprezintă răspunsul în frecvență al sistemului.
În schimb, dacă ƒ(x) poate fi descompusă ca produs a două funcții pătrat integrabile p(x) și q(x), atunci transformata Fourier a lui ƒ(x) este dată prin convoluția respectivelor transformări Fourier and .
Teorema corelației încrucișate
Într-o manieră analoagă se poate arăta că, dacă h(x) este corelație încrucișată a lui ƒ(x) și g(x):
atunci transformata Fourier a lui h(x) este:
Ca un caz special, autocorelația funcției ƒ(x) este:
pentru care:
Funcții proprii O bază ortonormală importantă aleasă pentru L2(R) este dată de funcțiile Hermite
în care are the polinoame Hermite "probabilistice", definite prin Hn(x) = (−1)nexp(x2/2) Dn exp(−x2/2). Sub această convenție pentrutransformata Fourier, avem:
Cu alte cuvinte, funcțiile Hermite formează un sistem ortonormal de funcții proprii pentru transformata Fourier pe spațiul L2(R) . Totuși, modul de alegere al funcțiilor proprii nu este unic. Există patru valori proprii diferite ale transformării Fourier (±1 and ±i) și orice combinație de funcții proprii cu aceeași valoare proprie generează atlă funcție proprie. Ca o consecință a acestui fapt, este posibil ca să descompunem spațiul L2(R) ca o sumă directă a patru spații H0, H1, H2 și H3, în care transformarea Fourier să acționeze simplu pe ‚’H’’’’k’’ prin înmulțirea cu ik. Acest mod de definire a transformatei Fourier se datorează lui N. Wiener . Alegerea funcțiilor Hermite este convenabilă deoarece ele sunt exponențial localizate în ambele domenii de frecvență și timp, dând astfel un punct de plecare pentru transformata Fourier fractională folosită în analiza timp-frecvență .
Transformata Fourier pe spațiul Euclidian Transformata Fourier poate fi definită și pe spații n-dimensionale, caz în care transformata unei funcții ƒ(x) integrabile, se definește prin integrala:
In care x și ξ sunt vectori n-dimensionali, iar este produsul lor scalar. Produsul scalar se scrie câteodată sub forma .
Toate proprietățile de bază de mai sus sunt valabile și pentru transformata Fourier n-dimensională, precum și teoremele lui Plancherel și Parseval. Când funcția este integrabilă transformata Fourier este uniform continuă, fiind valabilă și lema Riemann-Lebesgue.
Principiul de incertitudine