În geometrie o curbă de intersecție este o curbă care aparține la două obiecte geometrice. În cel mai simplu caz, intersecția a două plane neparalele în spațiul euclidian tridimensional este o dreaptă. În general, o curbă de intersecție constă din punctele comune a două suprafețe care se intersectează transversal, ceea ce înseamnă că în orice punct comun normalele la suprafețe nu sunt paralele. Această restricție exclude cazurile în care suprafețele se ating sau au părți comune ale suprafeței.

thumb|Intersecția a două plane Determinarea analitică a curbei de intersecție a două suprafețe este ușoară doar în cazuri simple, de exemplu: a) intersecția a două plane, b) secțiunea plană a unei cuadrice (sferă, cilindru, con etc.), c) intersecția a două cuadrice în cazuri particulare.<ref name=LS>Iacob-Liviu Scurtu, Geometrie Descriptivă ([https://gdgi.utcluj.ro/scurtu%20doc/scurtu/IM_MTR/GD/C12.pdf Curs 12 – Utilizarea sferei ca suprafață auxiliară], p. 2), Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, accesat 2025-11-09</ref> Pentru cazul general, literatura de specialitate oferă algoritmi pentru calcularea punctelor curbei de intersecție a două suprafețe.Hartmann, 2003, p. 94

Intersecția a două plane

Intersecția a două plane (adică nu sunt paralele sau confundate) este o dreaptă.Hartmann, 2003, p. 19

Curba de intersecție a unui plan și a unei cuadrice În toate cazurile curba de intersecție a unui plan și a unei cuadrice (sferă, cilindru, con...) este o conică. Hartmann, Erich, CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), p. 87–124 O aplicație importantă a secțiunilor cuadrice sunt liniile de contur ale cuadricelor. În toate cazurile (proiecție paralelă sau centrală), liniile de contur ale cuadricelor sunt conice.

Curba de intersecție a unui cilindru sau con și a unei cuadrice Este o sarcină ușoară să determini punctele de intersecție ale unei drepte cu o cuadrică (de exemplu intersecția dintre o dreptă și o sferă), trebuie doar rezolvată o ecuație de gradul al doilea. Deci, orice curbă de intersecție a unui con sau a unui cilindru (acestea sunt generate de drepte) cu o cuadrică este formată din punctele de intersecție ale dreptelor cu cuadrica.

Imaginile următoare arată posibilitățile care apar la intersecția unui cilindru cu o sferă: În primul caz există o singură curbă de intersecție. În al doilea caz curba de intersecție este formată din două părți. În al treilea caz, sfera și cilindrul se ating într-un singur punct. Curba de intersecție se autointersectează. Dacă cilindrul și sfera au aceeași rază, iar punctul de mijloc al sferei este situat pe axa cilindrului, atunci curba de intersecție este un cerc format din puncte singulare. Intersecția unui cilindru cu o sferă

Cazul general: metoda marșului thumb|upright=1.75|Curba de intersecție: principiul algoritmului de marș În cazul general nu există caracteristici particulare de exploatat. O posibilitate de a determina un poligon de puncte ale curbei de intersecție a două suprafețe este metoda marșului. Aceasta constă din două părți esențiale: Prima parte este algoritmul punctului curbei, care determină un punct de pe curba de intersecție pornind dintr-un punct din vecinătatea celor două suprafețe. Algoritmul depinde în esență de reprezentarea suprafețelor date. Cea mai simplă situație este cea în care ambele suprafețe sunt date implicit de ecuațiile deoarece funcțiile oferă informații despre distanțele până la suprafețe și prin intermediul gradienților arată drumul către suprafețe. Dacă una sau ambele suprafețe sunt date parametric, avantajele cazului implicit nu există. În acest caz algoritmul punctului curbei utilizează proceduri consumatoare de timp, cum ar fi determinarea punctului de bază al unei perpendiculare pe o suprafață. A doua parte a metodei marșului începe cu un prim punct pe curba de intersecție, determină direcția curbei de intersecție folosind normalele la suprafață, apoi face un pas cu o lungime dată în direcția tangentei, pentru a obține un punct de plecare pentru un al doilea punct al curbei ș.a.m.d.

Metoda marșului produce pentru orice punct de plecare un poligon pe curba de intersecție. Dacă curba de intersecție este formată din două părți, algoritmul trebuie executat folosind un al doilea punct de plecare convenabil. Algoritmul este destul de robust. De obicei, punctele singulare nu reprezintă o problemă, deoarece șansa de a întâlni exact un punct singular este foarte mică (vezi imaginea: intersecția unui cilindru cu suprafața ). Curbe de intersecție a unui cilindru cu corpul descris de

Aplicație: linia de contur Un punct (x, y, z) al liniei de contur a unei suprafețe implicite cu ecuația în proiecție paralelă cu direcția trebuie să îndeplinească condiția deoarece trebuie să fie un vector tangent, ceea ce înseamnă că orice punct de contur este un punct al curbei de intersecție a celor două suprafețe implicite.

La cuadrice este întotdeauna o funcție liniară. Prin urmare linia de contur a cuadricei este întotdeauna o curbă plană.

Linia de contur a suprafeței a fost trasată prin metoda marșului.Notă: Determinarea unui poligon de contur al unei suprafețe parametrice necesită trasarea unei curbe implicite în planul parametric.Hartmann, 2003, p. 99 Condiția pentru a fi puncte de contur este: .

Curba de intersecție a două poliedre thumb|Curba de intersecție a trei poliedre: trei case thumb|Intersecția a două toruri Curba de intersecție a două poliedre este un poligon (v. intersecția a trei case). Afișarea unei suprafețe definite parametric se face de obicei prin aplicarea unei rețele dreptunghiulare în spațiul tridimensional. Pătratele din spațiu sunt aproape plane. Deci, pentru intersecția a două suprafețe definite parametric se poate utiliza algoritmul pentru intersecția a două poliedre.Hartmann, 2003, p. 76== Note ==

Bibliografie Hartmann, Erich, Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN (curs, 2003), Technische Universität Darmstadt

Lectură suplimentară C.L. Bajaj, C.M. Hoffmann, R.E. Lynch: Tracing surface intersections, Comp. Aided Geom. Design 5 (1988), p. 285-307. R.E. Barnhill, S.N. Kersey: A Marching method for parametric surface/surface intersection, Comp. Aided Geom. Design 7 (1990), p. 257-280. R. Barnhill, G. Farin, M. Jordan, B. Piper: Surface/Surface intersection'', Computer Aided Geometric Design 4 (1987), p 3-16.

Legături externe

Categorie:Geometrie euclidiană intersecție