În analiza numerică eroarea de trunchiere este o eroare cauzată de aproximarea unui proces matematic. . Termenul de „trunchiere” provine din faptul că aceste simplificări implică adesea trunchierea unei serii infinite pentru a face calculul posibil și practic.
Exemple Serii infinite O serie de însumare pentru este o serie infinită, cum ar fi:
În realitate se pot folosi doar un număr finit din acești termeni, deoarece pentru a-i folosi pe toți ar fi nevoie de un timp de calcul infinit. Folosind doar primii trei termeni din serie, se obține:
În acest caz eroarea de trunchiere este
Exemplu Fie următoarea serie infinită:
Să se determine eroarea de trunchiere pentru dacă se utilizează doar primii trei termeni ai seriei.
Soluție: Folosirea doar a primilor trei termeni ai seriei dă:
Suma unei serii geometrice infinite
este dată de
La seria considerată, cu și se obține:
Prin urmare, eroarea de trunchiere este:
Derivare Definiția derivatei exacte de ordinul întâi a unei funcții este:
Totuși, dacă derivata este calculată numeric, trebuie să fie finit. Eroarea cauzată de alegerea lui ca număr finit este o eroare de trunchiere în procesul matematic de derivare.
Exemplu Să se găsească trunchierea la calcularea derivatei de ordinul întâi a în folosind un pas
Soluție: Derivata de ordinul întâi a lui este:
iar în
Valoarea aproximativă calculată este:
Deci, eroarea de trunchiere este:
Integrare Definiția integralei definite de la la a unei funcții se obține după cum urmează.
Fie funcția definită pe intervalul închis al numerelor reale, , și fie
o a lui unde
unde și
Aceasta implică faptul că aria de sub curbă se obține însumând un număr infinit de dreptunghiuri. Totuși, dacă se calculează integrala numeric, se pot folosi doar un număr finit de dreptunghiuri. Eroarea cauzată de alegerea unui număr finit de dreptunghiuri este o eroare de trunchiere în procesul matematic de integrare.
Exemplu Pentru integrala
să se calculeze eroarea de trunchiere dacă se utilizează o la stânga cu două segmente, cu lățimi egale ale segmentelor.
Soluție: valoarea exactă a integralei este:
Folosind două dreptunghiuri de lățime egală pentru a aproxima aria de sub curbă, valoarea aproximativă a integralei este:
Deci, eroarea de trunchiere este:
Adunare În calculul numeric eroarea de trunchiere poate determina ca atunci când în computer deoarece (cum și trebuie), în timp ce Aici, are o eroare de trunchiere de 1, deoarece în acest caz computerele nu stochează suficiente cifre semnificative.
În algebră Un analog al trunchierii poate fi aplicat polinoamelor. În acest caz trunchierea unui polinom la gradul poate fi definită ca suma tuturor termenilor lui de gradul sau mai mic.
Note
Categorie:Analiză numerică