Logica de ordinul întâi cunoscută și sub numele de logica predicatelor de ordinul întâi, logica cuantificativă sau calculul cu predicate de ordinul întâi este o colecție de sisteme formale utilizate în matematică, filozofie, lingvistică și informatică. Logica de ordinul întâi folosește variabile cuantificate peste obiecte care nu sunt logice și permite utilizarea propozițiilor care conțin variabile, astfel încât în locul unor propoziții precum „Socrate este un om”, pot apărea expresii sub forma „există x astfel încât x este Socrate și x este un om”, unde „există” este un cuantificator logic, în timp ce x este o variabilă.Hodgson, Dr. J. P. E., "First Order Logic" (archive.org), Saint Joseph's University, Philadelphia, 1995. Aceasta o deosebește de logica propozițională, care nu folosește cuantificatori sau relații;Hughes, G. E., & Cresswell, M. J., A New Introduction to Modal Logic (London: Routledge, 1996), p.161. în acest sens, logica propozițională este fundamentul logicii de ordinul întâi.
O teorie pe un subiect, cum ar fi teoria mulțimilor, o teorie pentru grupuri,A. Tarski, Undecidable Theories (1953), p.77. Studies in Logic and the Foundation of Mathematics, North-Holland sau o teorie formală a aritmeticii, sunt de obicei logici de ordinul întâi împreună cu un domeniu specificat de definiție (din care își pot lua valori variabilele cuantificate), un număr finit de funcții definite pe acel domeniu cu valori în el însuși, un număr finit de predicate definite pe acel domeniu și un set de axiome despre care se crede că sunt valabile. Uneori, termenul de „teorie” se înțelege într-un sens mai formal decât doar un set de propoziții în logica de ordinul întâi.
Adjectivul „de ordinul întâi” face distincția între logica de ordinul întâi și logicile de ordin superior, în care există predicate care au ca argument alte predicate sau funcții, sau în care sunt permise cuantificarea peste predicate sau funcții. În teoriile de ordinul întâi, predicatele sunt adesea asociate mulțimilor. În teoriile de ordin superior interpretate, predicatele pot fi interpretate ca mulțimi de mulțimi.
Există multe sisteme deductive pentru logica de ordinul întâi care sunt atât corecte (adică toate afirmațiile demonstrabile sunt adevărate în toate modelele) cât și complete (adică toate afirmațiile care sunt adevărate în toate modelele sunt demonstrabile). Deși relația de consecință logică este doar semicidabilă, s-au făcut multe progrese în domeniul demonstrării automate de teoreme în logica de ordinul întâi. Logica de ordinul întâi mai satisface și mai multe teoreme metalogice care o fac accesibilă analizei în teoria demonstrațiilor, cum ar fi teorema Löwenheim–Skolem și teorema compacității.
Logica de ordinul întâi este standardul pentru formalizarea matematicii în axiome și este studiată în fundamentele matematicii. Aritmetica Peano și teoria mulțimilor Zermelo–Fraenkel sunt axiomatizări ale teoriei numerelor și, respectiv, ale teoriei mulțimilor în logica de ordinul întâi. Nicio teorie de ordinul întâi, însă, nu are puterea de a descrie în mod unic o structură cu un domeniu infinit, cum ar fi numerele naturale sau dreapta reală. Sistemele de axiome care descriu pe deplin aceste două structuri (adică sisteme de axiome categorice) pot fi obținute în logici mai puternice, cum ar fi logica de ordinul al doilea.
Bazele logicii de ordinul întâi au fost dezvoltate independent de Gottlob Frege și Charles Sanders Peirce.Eric M. Hammer: Semantics for Existential Graphs, Journal of Philosophical Logic, Volumul 27, Numărul 5 (octombrie 1998), pagina 489: "Development of first-order logic independently of Frege, anticipating prenex and Skolem normal forms" Pentru o istorie a logicii de ordinul întâi și a modului în care aceasta a ajuns să domine logica formală, vezi José Ferreirós (2001).
Introducere Logica propozițională se ocupă de propoziții declarative simple. În schimb, logica de ordinul întâi acoperă și predicatele și cuantificarea. Un predicat este evaluat ca adevărat sau fals pentru o entitate sau mai multe entități din universul de discurs.
Fie două propoziții: „Socrate este filosof” și „Platon este filosof”. În logica propozițională, aceste propoziții sunt considerate indivizi de studiu, și ar putea fi notate, de exemplu, cu variabile ca p și q. Ele nu sunt văzute ca aplicarea unui predicat, cum ar fi , vreunui obiect particular din universul de discurs, văzându-le doar ca o afirmație care poate fi adevărată sau falsă. În logica de ordinul întâi însă, aceste două propoziții pot fi scrise ca afirmații cum că un anume individ sau obiect nelogic are o proprietate. În acest exemplu, ambele propoziții au aceeași formă pentru un individ , în prima propoziție valoarea variabilei fiind „Socrat”, iar în a doua„Platon”. Din cauză că putem vorbi despre indivizi nelogici împreună cu conectorii logici, logica de ordinul întâi cuprinde și logica propozițională.
Un predicat ia o entitate sau entități din domeniul de definiție și o evaluează drept adevărată sau falsă. Dacă se iau în considerare cele două propoziții „Socrate este un filozof” și „Platon este un filosof”, în logica propozițională, aceste propoziții sunt privite ca neînrudite și ar putea fi notate, de exemplu, prin variabile precum p și q. Predicatul „este un filozof” apare în ambele propoziții, care au structura comună „a este un filozof”. Variabila a este instanțiată ca „Socrate” în prima propoziție și ca „Platon” în a doua propoziție. În timp ce logica de ordinul întâi permite utilizarea predicatelor, cum ar fi „este un filozof” în acest exemplu, logica propozițională nu o face.Goertzel, B., Geisweiller, N., Coelho, L., Janičić, P., & Pennachin, C., Real-World Reasoning: Toward Scalable, Uncertain Spatiotemporal, Contextual and Causal Inference (Amsterdam & Paris: Atlantis Press, 2011), p. 29.
Variabilelor dintr-o formulă li se pot aplica cuantificatori. Variabila a din formula anterioară poate fi cuantificată universal, de exemplu, cu propoziția de ordinul întâi „Pentru orice a, dacă a este un filosof, atunci a este un savant”. Cuantificatorul universal „orice” din această propoziție exprimă ideea că afirmația „dacă a este un filosof, atunci a este un savant” este valabilă pentru toate valorile posibile ale lui a.
Negarea propoziției „Pentru orice a, dacă a este un filosof, atunci a este un savant” este echivalentă logic cu propoziția „Există a astfel încât a este un filosof și a nu este un savant”. Cuantificatorul existențial „există” exprimă ideea că afirmația „a este un filosof și a nu este un savant” este valabilă pentru unele variante de a.
Predicatele „este un filozof” și „este un savant” primesc fiecare o singură variabilă. În general, predicatele pot lua mai multe variabile. În propoziția de ordinul întâi „Socrate este profesorul lui Platon”, predicatul „este profesorul lui” primește două variabile.
O interpretare (sau un model) a unei formule de ordinul întâi specifică ce înseamnă fiecare predicat și ce entități pot instanția variabilele. Aceste entități formează domeniul de definiție sau universul, care de obicei este necesar să fie o mulțime nevidă. De exemplu, într-o interpretare cu domeniul alcătuit din toate ființele umane și predicatul „este un filosof” înțeles ca „a fost autorul Republicii”, se vede propoziția „Există a astfel încât a este un filozof” ca fiind adevărată, așa cum este exemplificată de Platon.
Există două părți cheie ale logicii de ordinul întâi. Sintaxa determină ce secvențe finite de simboluri sunt expresii bine formate în logica de ordinul întâi, în timp ce semantica determină semnificațiile din spatele acestor expresii.
Sintaxă Spre deosebire de limbajele naturale, cum ar fi limba română, limbajul logicii de ordinul întâi este complet formal, astfel încât se poate determina mecanic dacă o anumită expresie este bine formată. Există două tipuri importante de expresii bine formate: termeni, care reprezintă în mod intuitiv obiecte și formule, care exprimă intuitiv afirmații care pot fi adevărate sau false. Termenii și formulele logicii de ordinul întâi sunt șiruri de simboluri, în care toate simbolurile împreună formează alfabetul limbajului. Ca și în cazul tuturor limbajelor formale, natura simbolurilor în sine este în afara domeniului de aplicare a logicii formale; ele sunt adesea considerate pur și simplu ca litere și simboluri de punctuație.
Alfabet Spre deosebire de limbajele naturale, cum ar fi limba română, limbajul logicii de ordinul întâi este complet formal, astfel încât se poate determina mecanic dacă o anumită expresie este bine formată. Există două tipuri importante de expresii bine formate: termeni, care reprezintă în mod intuitiv obiecte și formule, care exprimă intuitiv afirmații care pot fi adevărate sau false. Termenii și formulele logicii de ordinul întâi sunt șiruri de simboluri, în care toate simbolurile împreună formează alfabetul limbajului. Ca și în cazul tuturor limbajelor formale, natura simbolurilor în sine este în afara domeniului de aplicare a logicii formale; ele sunt adesea considerate pur și simplu ca litere și simboluri de punctuație.
Simbolurile alfabetului se împart de regulă în simboluri logice, care au întotdeauna aceeași semnificație, și simboluri nelogice, a căror semnificație variază în funcție de interpretare. De exemplu, simbolul logic reprezintă întotdeauna „și”; nu este niciodată interpretat ca „sau”, care este reprezentat de simbolul logic . Cu toate acestea, un simbol predicat nelogic, cum ar fi Phil(x), ar putea fi interpretat ca însemnând „x este filozof”, „x este un om pe nume Philip” sau orice alt predicat unar, în funcție de interpretarea de lucru.
Simboluri logice Simbolurile logice sunt un set de caractere care variază în funcție de autor, dar de obicei includ următoarele:
Simboluri cuantificatoare : pentru cuantificare universală și pentru cuantificare existențială Conectori logici: pentru conjuncție, pentru disjuncție, pentru implicație, pentru bicondițional, pentru negație. Unii autori folosesc Cpq în loc de și Epq în loc de , mai ales în contexte în care simbolul → este folosit în alte scopuri. Mai mult, potcoava poate înlocui ; bara triplă poate înlocui ; o tildă ( ), Np sau Fp poate înlocui ; bara dublă , , , sau Apq poate înlocui ; și un ampersand , K pq, sau punctul din mijloc poate înlocui , mai ales dacă aceste simboluri nu sunt disponibile din motive tehnice. (Simbolurile menționate mai sus Cpq, Epq, Np, Apq și Kpq sunt folosite în notația poloneză.) Parantezele rotunde, parantezele drepte și alte simboluri de punctuație. Alegerea unor astfel de simboluri variază în funcție de context. Un set infinit de variabile, adesea notate cu litere mici de la sfârșitul alfabetului x, y, z ,.... Pentru a distinge variabilele, se folosesc deseori indici: Un simbol de egalitate (uneori, simbol de identitate ) (vezi mai jos).
Nu toate aceste simboluri sunt necesare în logica de ordinul întâi. Oricare dintre cuantificatori, împreună cu negația, conjuncția (sau disjuncția), variabilele, parantezele și egalitatea sunt suficiente.
Printre alte simboluri logice se mai numără și:
Constante de adevăr: T, V sau pentru „adevărat” și F, O sau pentru „fals” (V și O sunt din notația poloneză). Fără astfel de operatori logici de valență 0, aceste două constante pot fi exprimate numai folosind cuantificatori. Conexiuni logice suplimentare, cum ar fi bara Sheffer, Dpq (NAND) și sau exclusiv, Jpq.
Simboluri nelogice Simbolurile nelogice reprezintă predicate (relații), funcții și constante. Folosirea unei mulțimi fixe, infinite de simboluri non-logice pentru toate scopurile era o practică standard:
Pentru fiecare număr întreg , există o colecție de simboluri predicat -are. Deoarece reprezintă relații între elemente, ele sunt numite și simboluri de relație. Pentru fiecare aritate , există o ofertă infinită de astfel de simboluri: Pn0, Pn1, Pn2, Pn3, ... Pentru fiecare număr întreg , există infinit de multe simboluri de funcție -are: