+ Constanta de gheață pătrată a lui Lieb Expresie algebrică Valoare zecimală 1.53960071783900203869106341467188…

Constanta de gheață pătrată a lui Lieb (Lieb's square ice constant) este o constantă matematică utilizată în domeniul combinatoricii pentru a aproxima numărul de orientări euleriene ale grafurilor de tip grilă. Ea a fost introdusă de în 1967.

Se numește constanta de gheață pătrată deoarece orientările pe care le numără apar în mecanica statistică a structurilor cristaline ca stări ale unui model de tip gheață definit pe o grilă pătrată.

Valoarea constantei de gheață pătrată a lui Lieb este

Pe baza acesteia, numărul orientărilor euleriene ale unei grile este aproximativ

unde termenul , un exemplu de notația little-o, ascunde termenii formulei care tind către zero atunci când crește.

Definiție

Un graf de tip grilă are vârfuri. Dacă este construit cu (adică muchii care „se înfășoară” de la stânga la dreapta și de sus în jos), atunci are muchii și este un graf regulat de grad 4, ceea ce înseamnă că fiecare vârf are exact patru vecini.

O a acestui graf este atribuirea unei direcții fiecărei muchii. Orientarea este o orientare euleriană dacă fiecare vârf are exact două muchii care intră și două care ies.

O orientare euleriană poate fi construită orientând fiecare rând al grilei (inclusiv muchia de înfășurare) ca un ciclu și fiecare coloană ca un alt ciclu. Totuși, există mult mai multe orientări care nu au această formă particulară.

Notăm cu numărul orientărilor euleriene ale acestui graf. Acest număr crește aproximativ exponențial în funcție de , având constanta de gheață pătrată a lui Lieb drept bază a exponentului. Mai precis,

Această valoare este constanta de gheață pătrată a lui Lieb.

Lieb a calculat această constantă exact folosind o metodă a matricii de transfer.

Numărare exactă

Numerele exacte ale orientărilor euleriene ale unui graf grilă cu condiții periodice la limită, pentru , sunt:

4, 18, 148, 2970, 143224, 16448400, 4484823396, 2901094068042, 4448410550095612, 16178049740086515288, ...

Aplicații

Motivația originală a lui Lieb pentru studierea acestei probleme de numărare provine din mecanica statistică. În acest domeniu, modelele de tip gheață sunt folosite pentru a descrie legăturile de hidrogen în structuri cristaline precum gheața (apă), unde fiecare element al structurii (de exemplu o moleculă de apă) are legături cu patru vecini, dintre care două au fiecare polaritate.

O stare a sistemului descrie polaritatea legăturii de hidrogen pentru fiecare dintre cei patru vecini. Dacă elementele și vecinătățile lor sunt descrise prin vârfurile și muchiile unui graf neorientat, polaritățile legăturilor pot fi reprezentate prin orientarea muchiilor grafului, astfel încât fiecare vârf are două muchii orientate înăuntru și două orientate în afară.

Dacă se presupune în plus că toate orientările compatibile au aceeași energie, atunci numărul stărilor posibile este egal cu , care este importantă pentru calcularea proprietăților sistemului aflat în echilibru termodinamic.

Structurile cristaline diferite au funcții de partiție diferite; valoarea calculată de Lieb corespunde unui model idealizat în care moleculele de apă sau alte elemente sunt aranjate într-o grilă pătrată.

Pe lângă legăturile de hidrogen, aranjamente analoge ale elementelor cu patru vecini, care respectă aceeași regulă „doi înăuntru, doi în afară”, apar și în gheața de spin, iar același calcul al funcției de partiție se aplică și în acest caz.

Funcția mai numără și: numărul de 3-colorări ale grafurilor grilă, numărul de în grafuri grilă, numărul de plieri locale plate ale .

Note

Categorie:Constante matematice