Construcția unui lanț Markov ireductibil este o metodă matematică utilizată pentru demonstrarea unor rezultate legate de comportamentul materialelor magnetice în cadrul modelului Ising, permițând studiul transformărilor de fază și al fenomenelor critice.
Modelul Ising, un model matematic din fizica statistică, este utilizat pentru studierea transformărilor de fază magnetice și reprezintă un model fundamental al sistemelor cu interacțiuni.
Construirea unui lanț Markov într-un model Ising finit este importantă pentru depășirea dificultăților computaționale întâlnite la efectuarea testelor exacte prin metode (MCMC).
Baze Markov
În contextul modelului Ising, o bază Markov este o mulțime de vectori întregi care permite construirea unui lanț Markov ireductibil. Fiecare vector întreg
poate fi descompus în mod unic ca
,
unde și sunt vectori nenegativi.
O bază Markov
satisface următoarele condiții:
(i) Pentru orice se verifică și .
(ii) Pentru orice și orice există astfel încât
și
pentru .
Elementele lui definesc mutările posibile ale sistemului. Un lanț Markov aperiodic, reversibil și ireductibil poate fi obținut utilizând .
și au arătat că (1) o bază Markov poate fi definită algebric pentru modelul Ising și (2) orice mulțime generatoare pentru idealul
este o bază Markov pentru modelul Ising.
Construcția unui lanț Markov ireductibil
Pentru a obține eșantioane uniforme din și pentru a evita valori incorecte ale valorilor p, este necesară construirea unui lanț Markov ireductibil fără a modifica algoritmul propus de Diaconis și Sturmfels.
Un schimb simplu
de forma
unde este vectorul de bază canonic, modifică stările a două puncte ale rețelei în configurația . Mulțimea reprezintă colecția tuturor acestor schimburi simple.
Două configurații sunt S(a,b)-conectate prin dacă există un drum între ele format din schimburi simple .
Algoritmul evoluează astfel:
cu condiția
pentru .
Algoritmul poate fi descris astfel:
(i) Lanțul Markov pornește dintr-o configurație .
(ii) Se selectează aleatoriu și se definește .
(iii) Configurația este acceptată dacă ; altfel lanțul rămâne în .
Deși lanțul Markov rezultat ar putea, în anumite situații, să nu părăsească starea inițială, această problemă nu apare pentru modelul Ising unidimensional. În dimensiuni superioare, problema poate fi abordată utilizând algoritmul Metropolis–Hastings într-un spațiu de eșantionare extins .
Ireductibilitatea în modelul Ising unidimensional
Demonstrarea în modelul Ising unidimensional utilizează două leme.
Lema 1. Configurația cu număr maxim de singletoni din pentru modelul Ising unidimensional este unică (până la poziția componentelor conexe) și constă din
singletoni și o componentă conexă de dimensiune .
Lema 2. Pentru și , fie configurația cu număr maxim de singletoni din . Atunci există o secvență astfel încât
și
pentru .
Deoarece este cel mai mic spațiu de eșantionare extins care conține , orice două configurații din pot fi conectate prin schimburi simple din fără a părăsi . Acest rezultat permite obținerea ireductibilității unui lanț Markov bazat pe schimburi simple pentru modelul Ising unidimensional.
Un rezultat analog poate fi obținut și pentru modelul Ising bidimensional sau de dimensiune superioară, urmând pași similari.
Note
Categorie:Fizică statistică