Teorema schimbului a lui Steinitz este un rezultat fundamental din algebra liniară, referitor la bazele unui spațiu vectorial și la dimensiunea acestuia. În literatura de specialitate apare și sub numele de lema schimbului sau lema schimbului Steinitz–Mac Lane. Ea afirmă, în esență, că dintr-un sistem de generatori se pot „schimba” vectori astfel încât o familie liniar independentă să fie completată până la un sistem de generatori.Cursul UBB „Algebra 1 – Algebra liniară”, capitolul 5, Teorema 5.1 (a înlocuirii, Steinitz), Teorema 5.2 și Corolarul 5.7.
Enunț
Fie un spațiu vectorial peste corpul . Dacă este un sistem de generatori pentru și este un sistem liniar independent de vectori din , atunci:
sistemul poate fi completat cu vectori din până la un sistem care este tot sistem de generatori pentru .
O formă echivalentă, folosită frecvent în teoria spațiilor vectoriale, este următoarea: dacă și sunt submulțimi finite ale lui , este liniar independentă, iar generează spațiul , atunci și există o submulțime cu astfel încât să genereze în continuare .
Demonstrație
Presupunem că este o familie liniar independentă și că generează spațiul . Demonstrația se face prin inducție după .
Pentru , afirmația este trivială: nu trebuie adăugat niciun vector, iar familia este deja un sistem de generatori.
Presupunem acum că enunțul este adevărat pentru . Atunci, după o eventuală renumerotare a vectorilor din , putem considera că familia generează spațiul . Deoarece , el se scrie ca o combinație liniară a vectorilor din această familie:
Cel puțin unul dintre coeficienții , pentru , este nenul; altfel, am obține o relație de dependență liniară între vectorii , în contradicție cu independența lor liniară. După o eventuală reordonare, putem presupune că . Din relația de mai sus izolăm vectorul :
Rezultă că aparține subspațiului generat de vectorii . Prin urmare, familia
generează în continuare spațiul . În plus, numărul de vectori proveniți din familia inițială de generatori a scăzut cu unu, ceea ce încheie pasul inductiv.
Consecințe
Din teorema schimbului a lui Steinitz rezultă imediat că orice două baze ale aceluiași spațiu vectorial finit-dimensional au același număr de elemente. Acest număr se numește dimensiunea spațiului vectorial.Cursul UBB „Algebra 1 – Algebra liniară”, Definiția 5.3 și Notația 5.4.
Tot din această teoremă urmează două afirmații standard:
din orice sistem de generatori se poate extrage o bază; orice sistem liniar independent poate fi completat până la o bază.Cursul UBB „Algebra 1 – Algebra liniară”, Corolarul 5.7.
În cazul unui spațiu vectorial de tip finit , acestea duc și la caracterizarea: dimensiunea lui este numărul maxim de vectori liniar independenți; dimensiunea lui este numărul minim de vectori dintr-un sistem de generatori.
Exemplu de aplicare
Se cere să demonstrăm că o mulțime este bază a spațiului vectorial dacă și pentru orice avem . UBB, Curs Algebră 1 (Algebră liniară) - Exerciții, problema 1(c).
Soluție. Deoarece familia generează spațiul , rămâne de arătat că este liniar independentă. Dacă ar fi liniar dependentă, atunci unul dintre vectori ar fi combinație liniară a celorlalți; prin urmare, acel vector ar aparține subspațiului generat de ceilalți vectori, iar eliminarea lui nu ar schimba subspațiul generat. Aceasta contrazice ipoteza că, pentru orice , familia obținută prin scoaterea lui nu mai generează . Deci familia este liniar independentă. Cum este și generator al lui , rezultă că este bază.
Note
Bibliografie
G. Călugăreanu, Lecții de algebră liniară, Litografia UBB, Cluj-Napoca, 1995. R. Covaci, Algebră și programare liniară, Litografia UBB, Cluj-Napoca, 1986. C. Năstăsescu, I. Stănescu, C. Niță, Matematică. Elemente de algebră superioară, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1995. I. Purdea, I. Pop, Algebra, Editura GIL, Zalău, 2003.
Categorie:Algebră liniară Categorie:Teoreme matematice