thumb|upright=1.4|Planimetru polar Amsler din 1908 măsurând aria unei curbe închise Un planimetru este un instrument de măsură folosit pentru a determina aria unei forme bidimensionale oarecare.
Construcție Există mai multe tipuri de planimetre, dar toate funcționează asemănător. Modul precis în care sunt construite variază, principalele tipuri de planimetre mecanice fiind cele polare, cele liniare și planimetrele Prytz. Primul planimetru modern a fost construit în 1854 de matematicianul elvețian Jakob Amsler-Laffon, conceptul fiind propus de Johann Martin Hermann în 1818. Celebrului planimetru al lui Amsler i-au urmat multe dezvoltări, inclusiv versiuni electronice.
Tipul Amsler (polar) constă din două brațe articulate. La capătul unui braț se află un indicator, folosit pentru a urmări conturul formei care urmează să fie măsurată. Capătul celuilalt braț pivotează liber pe o greutate care o împiedică să se deplaseze. Lângă articulația celor două brațe se află o roată de măsurare cu diametru calibrat, cu o scală pentru a indica precis rotația și un angrenaj melcat pentru o scală auxiliară de numărare a turelor. Pe măsură ce conturul zonei este urmărit, această roată se rostogolește pe suprafața desenului. Operatorul reglează roata prin rotirea contorului la zero și apoi urmărește conturul formei cu indicatorul. Când urmărirea este completă, scalele de la roata de măsurare arată aria formei.
Când roata de măsurare a planimetrului se mișcă perpendicular pe axa sa, se rostogolește, iar această mișcare este înregistrată. Când roata de măsurare se mișcă paralel cu axa sa, roata alunecă fără a se rostogoli, deci această mișcare este ignorată. Aceasta înseamnă că planimetrul măsoară distanța pe care o parcurge roata sa de măsurare, proiectată perpendicular pe axa de rotație a roții de măsurare. Aria formei este proporțională cu numărul de ture pe care le face roata de măsurare.
Planimetrul polar este restricționat prin construcție la măsurarea unor zone în limitele determinate de mărimea și geometria sa. Totuși, tipul liniar nu are nicio restricție într-o singură dimensiune, deoarece se poate rostogoli. Roțile sale nu trebuie să alunece, deoarece mișcarea lor trebuie să fie constrânsă pe o dreaptă.
Dezvoltările planimetrului pot stabili poziția momentului static al ariei (centrul de masă) al ariei și chiar a momentului de inerție planar al ariei.
Imaginile de mai sus prezintă principiile de funcționare a unui planimetru liniar și al unui planimetru polar. Indicatorul M de la un capăt al planimetrului urmărește conturul C al suprafeței S care trebuie măsurată. Pentru planimetrul liniar mișcarea „cotului” E este restricționată la axa . Pentru planimetrul polar, „cotul” este conectat la un braț cu celălalt capăt O într-o poziție fixă. Roata de măsurare cu axa de rotație paralelă cu ME este conectată la brațul ME. O mișcare a brațului ME poate fi considerată o mișcare perpendiculară pe ME, care determină rotirea roții, și o mișcare paralelă cu ME, care determină deraparea roții, fără nicio contribuție la rotirea acesteia.
Principiul planimetrului liniar thumb|upright=2| Funcționarea planimetrului liniar poate fi explicată prin măsurarea ariei unui dreptunghi ABCD (vezi imaginea). Deplasând indicatorul de la A la B, brațul EM se deplasează prin paralelogramul galben, cu aria egală cu PQ × EM. Această arie este, de asemenea, egală cu aria paralelogramului A"ABB". Roata de măsurare măsoară distanța PQ (perpendiculară pe EM). Deplasându-se de la C la D, brațul EM se deplasează prin paralelogramul verde, cu aria egală cu aria dreptunghiului D"DCC". Roata de măsurare se mișcă acum în direcția opusă, scăzând această valoare din cea anterioară. Mișcările de-a lungul BC și DA sunt aceleași, dar opuse, deci se anulează reciproc fără niciun efect asupra roții. Rezultatul este măsurarea diferenței dintre ariile galbenă și verde, care este aria lui ABCD.
Obținerea matematică Funcționarea unui planimetru liniar poate fi justificată prin aplicarea , deși realizarea principalelor variante este anterioară demonstrării teoremei. Teorema se aplică la componentele câmpului vectorial date de:
Orice alt câmp vectorial care satisface este suficient, de asemenea, de exemplu sau unde este direcția perpendiculară pe brațul de măsurare și este cea paralelă. Pe măsură ce brațul de măsurare urmărește conturul, dispozitivul înregistrează cantitatea la intervale mici, făcînd produsul distanței perpendiculare curente și a deplasării paralele . Prin însumarea de-a lungul conturului se aproximează integrala printr-o .
Atunci:
unde este regiunea cuprinsă în contur.
În coordonate polare Legătura cu teorema lui Green poate fi înțeleasă la integrarea în coordonate polare: în coordonate polare, aria se calculează prin integrala unde forma integrată este de gradul al doilea în ceea ce înseamnă că viteza cu care aria se modifică prin schimbarea unghiului variază cu raza la pătrat.
Pentru o ecuație parametrică în coordonate polare, unde atât cât și variază în funcție de timp, aceasta devine:
Pentru un planimetru polar, rotația totală a roții este proporțională cu deoarece rotația este proporțională cu distanța parcursă, care în orice moment este proporțională cu raza și cu schimbarea unghiului, ca la circumferința unui cerc ().
Ultima expresie poate fi recunoscută ca derivata în funcție de a expresiei anterioare și arată că un planimetru polar calculează integrala ariei în funcție de „derivată”, ceea ce se reflectă în teorema lui Green, care echivalează o integrală de linie a unei funcții pe un contur (unidimensional) cu integrala (bidimensională) a derivatei.
Note
Bibliografie
Legături externe
P. Kunkel: Whistleralley site, The Planimeter Larry's Planimeter Platter Wuerzburg Planimeter Page Robert Foote's planimeter page Computer model of a planimeter Tanya Leise's planimeter explanations and As the Planimeter’s Wheel Turns Make a simple planimeter Photo: Geographers using planimeters (1940–1941) O. Knill and D. Winter: Green's Theorem and the Planimeter
Categorie:Instrumente matematice Categorie:Instrumente de măsură Categorie:Suprafață