În analiza matematică, o funcție definită pe un interval al mulțimii numerelor reale și cu valori în aceasta are proprietatea lui DarbouxNicolescu et al, p. 225 atunci când nu poate trece de la o valoare la alta fără a trece prin toate valorile intermediare. O astfel de funcție se mai numește și funcție Darboux. Denumirea reprezintă un omagiu adus matematicianului francez Jean Gaston Darboux, cel care a demonstrat că există funcții cu proprietatea lui Darboux care sunt discontinueDarboux. Funcțiile Darboux pot fi chiar discontinue în orice punctBruckner, Ceder.
Definiție, rezultate fundamentale
O funcție , unde este un interval nevid, are proprietatea lui Darboux dacă pentru orice numere , cu , și există (cel puțin) un număr astfel încât .
Orice funcție continuă, definită pe un interval, are proprietatea lui DarbouxNicolescu et al, p. 224. Rezultatul este întâlnit în literatură și sub denumirea de teorema valorii intermediare.
O funcție , unde este un interval nevid, are proprietatea lui Darboux dacă și numai dacă transformă orice subinterval într-un interval, Nicolescu et al, p. 226.
O funcție are proprietatea lui Darboux dacă și numai dacă transformă orice submulțime conexă a intervalului său de definiție într-o mulțime conexăNicolescu et al, p. 227.
O funcție , unde este un interval nevid, care este bijectivă și are proprietatea lui Darboux este strict monotonăNicolescu et al, ibid..
Dacă o funcție Darboux este discontinuă, atunci discontinuitățile sale sunt de speța a doua. Un exemplu de funcție Darboux discontinuă este dat de , cu formula unde .
Derivata a unei funcții derivabile , unde este un interval nevid, are proprietatea lui DarbouxNicolescu et al, p. 291. Rezultatul este întâlnit în literatură și sub denumirea de teorema lui Darboux.
Dacă o funcție admite primitive, atunci ea este funcție Darboux.
Note
Bibliografie
Categorie:Analiză matematică