thumb|200px|Înălţimile unui triunghi sunt concurente (în ortocentru) Înălțimea într-un triunghi reprezintă segmentul determinat de un vârf al triunghiului și piciorul perpendicularei din acel vârf pe dreapta ce conține latura opusă vârfului.

Proprietăți ale înălțimilor poligonale Concurența înălțimilor unui triunghi Cele trei înălțimi ale unui triunghi sunt concurente. Punctul lor de intersecție, H, se numește ortocentru. Triunghiul având ca vârfuri picioarele înălțimilor se numește triunghi ortic. Demonstrație. Fie triunghiul ABC și A”, B”, C” - picioarele perpendicularelor vârfurilor pe laturile opuse. thumb|left|300 px Prin vârfurile triunghiului ABC ducem paralele la laturile opuse, care se intersectează în punctele A', B', C' ca în figura alăturată. Prin construcție, ABCB' și BCAC' sunt paralelograme, deci . Pentru că și , rezultă că . Deci AA' este mediatoarea segmentului B'C'. Analog, BB” și CC” sunt mediatoarele segmentelor A'C' respectiv A'B'. Prin urmare, conform concurenței mediatoarelor unui triunghi, rezultă că și înălțimile triunghiului ABC sunt concurente. Augustin Coța, Mariana Răduțiu, Marta Rado, Florica Vornicescu, Geometrie și trigonometrie, 1992, Ministerul Învățământului și Științei, Editura Didactică și Pedagogică, R.A., București, ISBN 973-30-1859-7 Punct interior unui triunghi Dacă și sunt distanțele de la orice punct interior la laturi, iar , și înălțimile pe respectivele laturi, atunci este valabilă egalitatea:

Poligoane În poligoane înălțimea poate ajuta la determinarea ariei acestui poligon: la triunghi: , a este latura pe care cade înălțimea; la triunghiul dreptunghic: catetele sunt înălțimi, deci sau ; într-un triunghi dreptunghic, este egală cu produsul proiecțiilor sale pe ipotenuza sau cu produsul catetelor împărțit la ipotenuză; la trapez: , b și B fiind cele două baze ale trapezului; la paralelogram: , l este latura pe care cade înălțimea.

Corpuri tridimensionale

thumb|right|Înălțimea unei piramide este segmentul coborât din vârf perpendicular pe planul bazei

Înălțimea se poate trasa și la corpurile geometrice din spațiul tridimensional, de exemplu piramide și conuri. Pentru calcularea lungimii înălțimilor se încadrează înălțimile în triunghiuri dreptunghice și se utilizează teorema lui Pitagora.

Lungimea unei înălțimi a unui triunghi

Lungimea unei înălțimi a unui triunghi se poate obține folosind teorema lui Pitagora în funcție de lungimile laturilor și semiperimetru .

Într-un triunghi se formează triunghiuri dreptunghice prin trasarea unei înălțimi și se poate scrie egalitatea și după figura din dreapta. Prin scădere rezultă Această egalitate permite exprimarea lui in funcție de lungimea laturilor triunghiului :

Înălțimea triunghiului este Substituind cu expresia de mai sus și utilizând identitatea diferenței de pătrate se obține

Note

Vezi și Bisectoare Mediatoare Mediană Linie mijlocie Triunghi Triunghi ortic

Categorie:Geometrie