Geometria analitică (sau geometria carteziană) reprezintă o modalitate de abordare a geometriei cu ajutorul algebrei. Figurile geometrice sunt definite cu ajutorul ecuațiilor sau inecuațiilor, iar rezolvarea problemelor se face pur algebric. Pentru aceasta, planul și spațiul trebuie să fie dotate cu sisteme de coordonate carteziene. thumb|right|500px|Axa numerelor reale Geometrie analitică este o ramură a matematicii, a cărui obiect este studiul elementelor geometrice, dar utilizând calculul algebric. Apariția ei are loc în sec. XVII, sub impulsul cercetărilor lui Johannes Kepler în astronomie și ale lui Galileo Galilei în mecanică, aceștia descoperind curbele de gradul doi (elipsa în primul caz și parabola, în cel de al doilea). Aceste figuri geometrice nu mai prezentau doar un interes ca și curbe în sine, ci și ca traiectorii ale mișcării corpurilor, atât planete cât și ghiulele de tun. Scopul geometriei analitice este de a asocia fiecărei figuri geometrice o ecuație algebrică. În cazul curbelor din plan această ecuație are două necunoscute, iar în cazul suprafețelor din spațiu, ecuația asociată este cu trei necunoscute.
Istoric Matematicianului antic grec Menaechmus (Menechmus) (380 î.Hr. - 320 î.Hr.) i se atribuie (de către Platon) descoperirea secțiunilor conice parabola și hiperbola cu ajutorul cărora a rezolvat problema duplicării cubului.Cooke, Roger - The History of Mathematics, John Wilet & Sons, Inc., 1991. ISBN 0-471-54397-7. Apollonius din PergaAcestui matematician grec i se atribuie folosirea, pentru prima dată, a denumirilor elipsă, hiperbolă, parabolă. (262 î.Hr. - 190 î.Hr.), în lucrarea sa, De sectione determinata (Διωρις μενη τομη), rezolvă probleme în modalitatea care astăzi ar fi numită geometrie analitică unidimensională. În scrierea Conicele, Apollonius dezvoltă metoda analitică, anticipând astfel scrierile lui René Descartes (1596 - 1650) la o distanță de 18 secole!Boyer, Carl B. - "Apollonius of Perga", A History of Mathematics, John Wilwy & Sons, Inc., 1991. ISBN 0-471-54397-7. Matematicianul persan Omar Khayyám (1048 - 1131) a rezolvat ecuația cubică folosind intersecția dintre parabolă și cerc.Glen M. Cooper - Omar Khayyám, the mathematician, The Journal of the American Oriental Society 123, 2003.
Pasul decisiv a fost realizat de către Descartes, de numele căruia este legată descoperirea și introducerea geometriei analitice.Stillwell John - "Analytic Geometry", Mathematics and its History, Springer Science + Business Media Inc., 2004. ISBN 0-387-95336-1. Celebra sa lucrare Discurs despre metodă, conține un capitol intitulat chiar Geometrie.
Geometrie analitică plană În cele ce urmează, considerăm planul înzestrat cu un reper , iar x și y sunt coordonatele punctului (abscisa și ordonata).
Punctul Punctul poate fi reprezentat printr-un sistem de două ecuații de gradul întâi cu două necunoscute:
Dreapta Dreapta poate fi reprezentată printr-o ecuație de gradul întâi cu două necunoscute: .
Ecuația dreptei de pantă m care trece prin punctul A(x0,y0) este
Ecuația dreptei care trece prin două puncte diferite A(x0,y0), B(x1,y1) este
și poate fi scrisă sub forma , dacă .
Fie dreptele d: ax + by + c = 0 și d': a'x + b'y + c' = 0. Dacă , atunci d și d' sunt concurente; dacă , atunci d=d'; dacă , atunci . Distanța de la punctul M(x0,y0) la dreapta d: ax + by + c = 0 este
Formule Distanța dintre punctele și :
Mijlocul segmentului este dat de:
Centrul de greutate al triunghiului cu vârfurile : G
Suprafața triunghiului :
Geometrie analitică în spațiu Punctul Punctul este reprezentat prin sistemul:
Planul Planul poate fi reprezentat printr-o ecuație de forma:
Vectorul de poziție cu coordonatele (A, B, C) este perpendicular pe planul Ax+By+Cz+D=0.
Ecuația planului care trece prin punctul (x0,y0,z0) este A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Ecuația planului care trece prin 3 puncte necoliniare A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2),C(x3, y3, z3) este . Condiția de necoliniaritate a trei puncte de coordonate (x1,y1,z1), (x2,y2,z2),(x3,y3,z3) este .
Două plane p:Ax+By+Cz+D=0 și p'=A'x+B'y+C'z+D'=0 cu sau sau se intersectează după o dreaptă.
Dreapta Dreapta în spațiu poate fi considerată ca intersecția a două plane:
Ecuațiile parametrice ale dreptei determinată de punctul M0(x0,y0,z0) și vectorul director sunt :, unde .
Dreapta determinată de punctul M0(x0,y0,z0) și vectorul director poate fi descrisă prin ecuațiile canonice: .
Fie dreptele d1 și d2 date prin ecuațiile canonice și, respectiv, . Unghiul format de dreptele d1 și d2 este dat de formula: .
Formule Distanța dintre două puncte :
Mijlocul segmentului :
Centrul de greutate al triunghiului are coordonatele: G
Poziția relativă a unei drepte față de un plan Fie și .
1) Dacă intersectează planul într-un punct.
2) Dacă și atunci .
3) Dacă și atunci .
Unghiul format de o dreaptă cu un plan Fie dreapta d dată de ecuațiile: și planul P dat de ecuația . Fie unghiul dintre dreapta d și planul P.
Avem .
Note
Bibliografie Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974 Creangă, I. - Curs de geometrie analitică, Editura Tehnică București, 1951 Ghioca, A., Anghelescu, N., Streinu-Cercel, G. - Matematică - manual pentru clasa a XII - a, Editura Sigma, București, 2002 Mihăileanu, N.- Geometrie analitică, proiectivă și diferențială, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1972 Savu, I., Stoica, A. - Bacalaureat la matematică, Editura GIL, București, 2006
Vezi și Spațiu euclidian Spațiu metric Segment (geometrie) Coordonate carteziene
Legături externe Geometrie analitică la MathWorld MathsOnline Gallery Plane Analytical Geometry