În matematică, o inegalitate este o expresie care exprimă faptul că o cantitate este „mai mare” sau „mai mică” decât o altă cantitate.Aurora Chioreanu (coord.), Gheorghe Rădulescu (coord.), Mic dicționar enciclopedic, București, 1972, termenul Inegalitate, p. 469.
Sensul frazei „mai mare” depinde de relație de ordine folosită, dar în general termenul inegalitate se referă la comparație între două cantități numerice, cu noțiunea uzuală de ordine (ordinea naturală pe mulțimea numerelor reale).
Un exemplu elementar de inegalitate este „”, care exprimă faptul că numărul 1 este mai mic decât numărul 2; un alt exemplu este „pentru orice număr real , ”, care exprimă faptul că pătratul oricărui număr real este un număr pozitiv sau egal cu 0.
Inegalitatea nu trebuie confundată cu neegalitatea — adică, negația unei egalități — chiar dacă termenul are această semnificație și limbajul curent și etimologic vorbind. Un exemplu de neegalitate este „”.
Notații Inegalitățile între numere reale se notează cu simbolurile „”, „”, „” și „”. Fie și . două numere reale. Atunci,
Simbolurile „” și „” reprezintă inegalități stricte: înseamnă „ și sunt diferite, și este mai mic decât ”. înseamnă „ și sunt diferite, și este mai mare decât ”.
Simbolurile „” și „” reprezintă inegalități nestricte: înseamnă „ este mai mic sau egal cu ”. înseamnă: „ este mai mare sau egal cu ”.
Proprietăți
Trihotomie Între două numere reale și , este adevărată doar una din relațiile:
Antisimetrie Fie . Atunci: Dacă atunci Dacă atunci
Tranzitivitate Fie . Atunci: Dacă și atunci Dacă și atunci
Inegalități celebre Inegalitatea Cauchy-Schwarz Inegalitatea mediilor Inegalitatea lui Euler Inegalitatea lui Bernoulli Inegalitatea lui Bessel Inegalitatea triunghiului Inegalitatea lui Ptolemeu Inegalitatea lui Gauss Inegalitatea lui Abel Inegalitatea lui Jensen Inegalitatea lui Minkovski Inegalitatea lui Nesbitt Inegalitatea lui Chasles
Note
Bibliografie Ion, I. D. - Algebră pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983 Popa, C. - Introducere în Analiza matematică, Editura Facla, 1976 Hardy, G.; Littlewood, J.E.; Polya, G. - Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, 1999. ISBN 0-521-05206-8 Hardy, Godfrey Harold; Littlewood, John Edensor; Polya, George - Inequalities, Cambridge University Press, 1952
Vezi și Relație binară Relație de ordine Interval (matematică) Funcție injectivă Funcție monotonă
Legături externe
Inegalități la MathWorld Inegalități la Mathwarehouse Inegalități la Math.com