dreapta|miniatura|200x200px|Adunarea între vectori și înmulțirea cu un scalar: un vector (albastru) este compus cu un alt vector (roșu, imaginea de sus). Mai jos, w este întins cu un factor de 2, obținându-se suma . Un spațiu vectorial (numit și spațiu liniar) este o colecție de obiecte numite vectori, care pot fi adunați între ei și înmulțiți („scalați”) cu numere, denumite în acest context scalari. Scalarii sunt de multe ori luați ca numere reale, dar există și spații vectoriale în care înmulțirea cu un scalar se face cu numere complexe, numere raționale, sau, în general, din orice corp comutativ. Operațiunile de adunare vectorială și de înmulțire cu un scalar trebuie să îndeplinească anumite cerințe, numite axiome, enumerate mai jos.
Vectorii euclidieni sunt un exemplu de spațiu vectorial. Ei reprezintă cantități fizice, cum ar fi forțele: orice două forțe (de același tip) pot fi adunate pentru a produce o a treia, și înmulțirea unui vector forță cu un factor de înmulțire real dă un alt vector forță. În același fel, dar într-un sens mai geometric, vectorii care reprezintă deplasări în plan sau în spațiul tridimensional formează și ei spații vectoriale. Vectorii din spațiile vectoriale nu trebuie să fie neapărat obiecte reprezentabile prin săgeți, așa cum apar în exemplele amintite: vectorii sunt considerați ca abstracții matematice, obiecte cu proprietăți speciale, care în unele cazuri pot fi reprezentate sub forma unor săgeți.
Spațiile vectoriale fac obiectul algebrei liniare și sunt bine caracterizate prin dimensiunea lor, care, aproximativ vorbind, specifică numărul de direcții independente în spațiu. Spații vectoriale infinit-dimensionale apar în mod natural în analiza matematică, ca spații de funcții, ale căror vectori sunt funcții. Aceste spații vectoriale sunt, în general, înzestrate cu o structură suplimentară, care poate fi o topologie, care să permită luarea în considerare a aspectelor de proximitate și de continuitate. Printre aceste topologii, cele definite printr-o normă sau produs scalar sunt mai frecvent utilizate, ca având o noțiune de distanță dintre doi vectori. Este în special cazul spațiilor Banach și spațiilor Hilbert, care sunt fundamentale în analiza matematică.
Din punct de vedere istoric, primele idei care au condus la noțiunea de spațiu vectorial pot fi găsite în geometria analitică, matricile, sistemele de ecuații liniare, și vectorii euclidieni din secolul al XVII-lea. Abordarea modernă, mai abstractă, formulată pentru prima dată de către Giuseppe Peano în 1888, cuprinde obiecte mai generale decât spațiul euclidian, dar o mare parte din teorie poate fi văzută ca o extensie ideilor din geometria clasică, cum ar fi drepte, planuri și analogii în dimensiuni superioare.
Astăzi, spațiile vectoriale au aplicații în toată matematica, în științe și inginerie. Acestea sunt noțiunile liniar-algebrice adecvate pentru a trata sisteme de ecuații liniare; a oferi un cadru pentru dezvoltarea în serie Fourier, utilizată în rutinele de compresie a imaginilor; sau a oferi un mediu care poate fi folosit pentru tehnici de rezolvare a ecuațiilor cu derivate parțiale. Mai mult, spațiile vectoriale furnizează o modalitate abstractă, independentă de coordonate, de a trata obiecte fizice sau geometrice, cum ar fi tensorii. Aceasta, la rândul său, permite examinarea proprietăților locale ale varietăților prin tehnici de liniarizare. Spațiile vectoriale pot fi generalizate în mai multe moduri, ceea ce duce la mai multe noțiuni avansate în geometrie și algebra abstractă.
Introducere și definiții Conceptul de spațiu vectorial va fi explicat în primul rând prin descrierea a două exemple concrete:
Primul exemplu: săgeți în plan Primul exemplu de spațiu vectorial constă din săgeți într-un plan, pornind de la un punct fix (originea). Acestea sunt folosite în fizică pentru a descrie forțele sau vitezele. Date fiind oricare două astfel de săgeți, și , paralelogramul generat de aceste două săgeți conține o săgeată diagonală care începe și ea tot de la origine. Această nouă săgeată se numește suma celor două săgeți și este notată cu . În cazul special când cele două săgeți sunt pe aceeași linie, suma lor este săgeata de pe această linie a cărui lungime este suma sau diferența de lungimi, în funcție dacă săgețile au același sens sau sensuri opuse. O altă operație care se poate face cu săgeți este scalarea: dat fiind orice număr real pozitiv a, săgeata care are aceeași direcție ca și , dar este dilatată sau micșorată prin înmulțirea lungimii sale cu a, se numește înmulțire a lui cu a. Acesta este notată av. Atunci când a este negativ, av este definit ca fiind o săgeată îndreptată în sens opus, pe aceeași direcție.
Următoarele arată câteva exemple: dacă a = 2, vectorul rezultat aw are aceeași direcție ca și , dar este întins la lungime dublă față de (dreapta imaginii de mai jos). Echivalent, este suma . În plus, are sens opus și aceeași lungime ca (vectorul albastru cu vârful în jos în imaginea din dreapta). 180x180px230x230px
Al doilea exemplu: perechi ordonate de numere Un al doilea exemplu de spațiu vectorial este dat ca perechile de numere reale și . (Ordinea componentelor și este importantă, astfel încât o astfel de pereche se numește și pereche ordonată.) O astfel de pereche este scrisă sub forma . Suma a două astfel de perechi și înmulțirea unei perechi cu un număr sunt definite după cum urmează: + și . Primul exemplu de mai sus se reduce la acesta dacă săgețile sunt reprezentate printr-o pereche de coordonate carteziene ale punctelor lor de capăt.
Definiție Un spațiu vectorial peste un corp comutativ este structura formată dintr-o mulțime împreună cu două operații, care satisface cele opt axiome enumerate mai jos. Elementele din sunt de obicei numite vectori. Elementele din sunt de obicei numite scalari. Prima operațiune, numită adunare vectorială sau pur și simplu adunare, ia orice doi vectori și și le atribuie un al treilea vector, care este de obicei scris ca , și se numește suma acestor doi vectori. Cea de-a doua operație, numită înmulțire cu un scalar, ia orice scalar și orice vector și dă un alt vector.
În acest articol, vectorii sunt deosebiți de scalari prin aceea că sunt scriși cu litere îngroșate.Mai ales în fizică, este obișnuită notarea vectorilor cu o săgeată deasupra: . În cele două exemple de mai sus, corpul este corpul numerelor reale și mulțimea vectorilor este formată din săgeți plane având un punct fix de pornire și, respectiv, din perechi de numere reale.
Pentru a se califica drept spațiu vectorial, mulțimea și operațiile de adunare și înmulțire cu un scalar trebuie să respecte o serie de cerințe numite axiome. În lista de mai jos, fie , și vectori arbitrari din , și a și scalari din . Axioma Înțelesul Asociativitatea adunării Comutativitatea adunării Elementul neutru al adunării Există un element , numit vectorul nul, astfel încât pentru orice .Elementul simetric al adunării Pentru fiecare , există un element , numit opusul lui , astfel încât . înmulțirii cu un scalar cu înmulțirea corpuluia(bv) = (ab)v Această axiomă și următoarea se referă la două operațiuni diferite: înmulțirea cu un scalar: ; și operațiunea de înmulțire din cadrul corpului: . Elementul neutru al înmulțirii cu un scalar , unde reprezintă elementul neutru multiplicativ din . Distributivitatea înmulțirii cu un scalar față de adunarea vectorială Distributivitatea înmulțirii cu un scalar în raport cu operatorul aditiv al corpului Aceste axiome generalizează proprietățile vectorilor introduse în exemplele de mai sus. Într-adevăr, rezultatul adunării a două perechi ordonate (ca în al doilea exemplu de mai sus) nu depinde de ordinea operanzilor: .
De asemenea, în exemplul geometric în care vectorii erau văzuți ca săgeți, întrucât paralelogramul care definește adunarea vectorilor este independent de ordinea vectorilor. Toate celelalte axiome pot fi verificate într-un mod similar în ambele exemple. Astfel, făcând abstracție de natura concretă a tipului particular de vectori pe care se lucrează, definiția include aceste două exemple, și multe altele, într-o singură noțiune unificatoare de spațiu vectorial.
Scăderea a doi vectori și împărțirea la un scalar nenul poate fi definită ca: , . Atunci când corpul de scalari este mulțimea numerelor reale , spațiul vectorial se numește spațiu vectorial real. Atunci când câmpul scalar este mulțimea numerelor complexe, se numește spațiu vectorial complex. Aceste două cazuri sunt cele folosite cel mai adesea în inginerie. Definiția generală a unui spațiu vectorial permite ca scalarii să fie elemente din orice corp comutativ fix , spațiul fiind denumit în acest caz spațiu vectorial peste . Un corp comutativ este, în esență, o mulțime de numere care posedă operațiuni de adunare, scădere, înmulțire și împărțire.Unii autori (cum ar fi Brown 1991) restrâng atenția la corpurile sau , dar mare parte din teorie este neschimbată pentru orice corp arbitrar. De exemplu, numerele raționale formează și ele un corp comutativ.
Spre deosebire de analogia intuitivă care decurge din asocierea lor cu vectori în plan și din cazurile de dimensiune superioară, în spațiile vectoriale generale, nu există nicio noțiune de vecinătate, unghi sau distanță. Pentru tratarea unor astfel de probleme, se introduc tipuri particulare de spații vectoriale; vedeți mai jos.
Formule alternative și consecințe elementare Adunarea vectorială și înmulțirea cu un scalar sunt operațiuni care îndeplinesc proprietatea de închidere: și în pentru din , , din . Unele surse mai vechi menționează aceste proprietăți ca axiome separate.van der Waerden 1993, Ch. 19
În limbajul algebrei abstracte, primele patru axiome pot fi subsumate prin impunerea condiției ca mulțimea de vectori să fie un grup abelian în raport cu adunarea. Restul de axiome conferă acestui grup o structură de -. Cu alte cuvinte, există un definit pe corpul cu valori în al grupului vectorilor. Atunci, înmulțirea cu un scalar av este definită ca .
Există o serie de consecințe directe ale axiomelor spațiilor vectoriale. Unele dintre ele rezultă din aplicarea teoriei elementare a grupurilor asupra grupului aditiv al vectorilor: de exemplu, vectorul zero din și elementul invers al oricărui vector sunt unice. Alte proprietăți rezultă din legea distributivității, de exemplu av este egal cu 0 dacă și numai dacă a este egal cu 0 sau v este egal cu 0.
Istorie Spațiile vectoriale rezultă din geometria afină prin introducerea de coordonate în plan sau în spațiul tridimensional. În preajma lui 1636, Descartes și Fermat au pus bazele geometriei analitice prin echivalarea soluțiilor unei ecuații cu două variabile, cu puncte de pe o curbă plană. În 1804, pentru a obține soluții geometrice fără utilizarea de coordonate, Bolzano a introdus anumite operațiuni pe puncte, linii și planuri, predecesoarele vectorilor. Lucrarea sa a fost apoi utilizată în conceperea de către Möbius în 1827.Möbius 1827 În 1828, sugera existența unei algebre care depășește nu numai algebra obișnuită, ci și algebra bidimensională creată de el în timp ce căuta o interpretare geometrică a numerelor complexe.Crowe, Michel J. (1994), A History of Vector Analysis: The Evolution of the Idea of a Vectorial System, Dover, p. 11 and 16, ISBN 0-486-67910-1
Definiția vectorilor s-a bazat pe noțiunea lui Bellavitis de bipunct, un segment orientat din care un capăt este originea și altul o țintă, și apoi elaborată în continuare cu prezentarea numerelor complexe de către Argand și Hamilton și introducerea cuaternionilor și de către acesta din urmă. Acestea sunt elemente din , și ; tratarea lor drept combinații liniare poate fi găsită la Laguerre în 1867, care și el a definit sisteme de ecuații liniare.