În matematică, o funcție de gradul al doilea a unei singure variabile este o funcție de forma
unde este variabila sa, iar , și sunt coeficientii. Expresia , în special atunci când este tratată ca obiect în sine și nu ca funcție, este un polinom de gradul al doilea, adică un polinom de gradul doi. În matematica elementară, un polinom și funcția polinomială asociată sunt rareori distinse.
Graficul unei funcții reale de gradul al doilea cu o singură variabilă este o parabolă. Dacă o funcție de gradul al doilea este pusă egală cu zero, rezultatul este o ecuație de gradul al doilea. Soluțiile unei ecuații de gradul al doilea sunt zerourile (sau rădăcinile) funcției de gradul al doilea corespunzătoare, dintre care pot exista două, una sau zero. Soluțiile sunt date de formula de rezolvare a ecuației de gradul al doilea.
Un polinom de gradul al doilea sau o funcție de gradul al doilea poate avea mai multe variabile. De exemplu, o funcție de gradul al doilea cu două variabile, și , are forma
cu cel puțin unul dintre , și diferit de zero. În general, zerourile unei astfel de funcții de gradul al doilea descriu o secțiune conică (un cerc sau o altă elipsă, o parabolă sau o hiperbolă) în planul –. O funcție de gradul al doilea poate avea un număr arbitrar de mare de variabile. Mulțimea zerourilor sale formează o quadrică, care este o suprafață în cazul a trei variabile și o hipersuprafață în cazul general.
Etimologie
Adjectivul cuadratic provine din cuvântul latin quadrātum („pătrat”). Un termen ridicat la puterea a doua, cum este , este numit în algebră un pătrat, deoarece reprezintă aria unui pătrat cu latura .
Terminologie
Coeficienți Coeficienții unei funcții de gradul al doilea sunt adesea considerați reali sau complecși, dar pot fi luați în orice inel, caz în care domeniul și codomeniul sunt acest inel.
Grad Când se folosește termenul „polinom de gradul al doilea”, unii autori înțeleg „având grad exact 2”, iar alții „având grad cel mult 2”. Dacă gradul este mai mic decât 2, acesta poate fi numit „caz degenerat”. De obicei, contextul stabilește care dintre cele două sensuri este avut în vedere.
Uneori se folosește cuvântul „ordin” cu sensul de „grad”, de exemplu „polinom de ordinul al doilea”. Totuși, acolo unde „gradul unui polinom” se referă la gradul cel mai mare al unui termen nenul al polinomului, mai curând „ordin” se referă la gradul cel mai mic al unui termen nenul al unei serii de puteri.
Variabile
Un polinom de gradul al doilea poate avea o singură variabilă x (cazul univariat) sau mai multe variabile, cum ar fi x, y și z.
Cazul cu o variabilă
Orice polinom de gradul al doilea cu o singură variabilă poate fi scris ca
unde x este variabila, iar a, b și c reprezintă coeficientele. Astfel de polinoame apar adesea într-o ecuație de gradul al doilea Soluțiile acestei ecuații sunt numite rădăcini și pot fi exprimate în funcție de coeficienți prin formula de rezolvare a ecuației de gradul al doilea. Fiecare polinom de gradul al doilea are o funcție de gradul al doilea asociată, al cărei grafic este o parabolă.
Cazurile multivariabile
Orice polinom de gradul al doilea cu două variabile poate fi scris ca
unde și sunt variabilele, iar sunt coeficienții, și unul dintre , și este nenul. Astfel de polinoame sunt fundamentale pentru studiul secțiunilor conice, deoarece ecuația implicită a unei secțiuni conice se obține egalând cu zero un polinom de gradul al doilea, iar zerourile unei funcții de gradul al doilea formează o secțiune conică (posibil degenerată).
În mod similar, polinoamele de gradul al doilea cu trei sau mai multe variabile corespund unor suprafețe quadricice sau unor hipersuprafețe.
Polinoamele de gradul al doilea care au numai termeni de gradul al doilea se numesc forme pătratice.
Forme ale unei funcții de gradul al doilea cu o variabilă
O funcție de gradul al doilea cu o variabilă poate fi exprimată în trei forme: este numită forma standard, este numită forma factorizată (descompusă), unde și sunt rădăcinile funcției de gradul al doilea și soluțiile ecuației de gradul al doilea corespunzătoare. este numită forma canonică, unde și sunt coordonatele , respectiv , ale vârfului.
Coeficientul are aceeași valoare în toate cele trei forme. Pentru a transforma forma standard în forma factorizată, este necesară doar formula de rezolvare a ecuației de gradul al doilea pentru a determina cele două rădăcini și . Pentru a transforma forma standard în forma canonică, este necesar un procedeu numit completarea pătratului. Pentru a transforma forma factorizată (sau forma canonică) în forma standard, trebuie să înmulțim, să dezvoltăm și/sau să aplicăm distributivitatea.
Graficul funcției cu o variabilă
Indiferent de formă, graficul unei funcții de gradul al doilea cu o variabilă este o parabolă (așa cum se vede în dreapta). Echivalent, acesta este graficul ecuației bivariate de gradul al doilea . Dacă , parabola este deschisă în sus. Dacă , parabola este deschisă în jos.
Coeficientul controlează gradul de curbură al graficului; o valoare absolută mai mare a lui dă graficului un aspect mai închis (mai puternic curbat).
Coeficienții și împreună controlează poziția axei de simetrie a parabolei (care este și coordonata a vârfului și parametrul h din forma canonică), aceasta fiind
Coeficientul controlează înălțimea parabolei; mai precis, el este înălțimea parabolei în punctul în care intersectează axa .
Vârful
Vârful unei parabole este locul în care aceasta își schimbă concavitatea; de aceea, se mai numește și punct de întoarcere. Dacă funcția de gradul al doilea este în forma canonică, vârful este . Folosind metoda completării pătratului, forma standard
poate fi transformată în
astfel încât vârful, , al parabolei în forma standard este
Dacă funcția de gradul al doilea este în formă factorizată
media celor două rădăcini, adică
este coordonata a vârfului, iar vârful este
Vârful este și punctul de maxim dacă , sau punctul de minim dacă .
Dreapta verticală
care trece prin vârf este și axa de simetrie a parabolei.
Puncte de maxim și de minim
Folosind reguli de derivare, punctul de vârf, fiind un maxim sau minim al funcției, poate fi obținut găsind rădăcinile derivatei:
este o rădăcină a lui dacă rezultând
iar valoarea corespunzătoare a funcției este
deci, din nou, coordonatele punctului de vârf, , pot fi exprimate ca
Rădăcinile funcției cu o variabilă
Rădăcini exacte
Rădăcinile (sau zerourile), și , ale funcției de gradul al doilea cu o variabilă
sunt valorile lui pentru care .
Când coeficientele , și sunt reale sau complexe, rădăcinile sunt
Cota superioară pentru modulul rădăcinilor
Modulul rădăcinilor unui polinom cuadratic nu poate depăși unde este numărul de aur
Rădăcina pătrată a unei funcții de gradul al doilea cu o variabilă
Rădăcina pătrată a unei funcții de gradul al doilea cu o variabilă dă naștere uneia dintre cele patru secțiuni conice,[aproape întotdeaun fie unei elipse, fie unei hiperbole.
Dacă atunci ecuația descrie o hiperbolă, după cum se poate vedea ridicând la pătrat ambele membre. Direcțiile axelor hiperbolei sunt determinate de ordonata punctului de minim al parabolei corespunzătoare Dacă ordonata este negativă, atunci axa mare a hiperbolei (cea care trece prin vârfuri) este orizontală, iar dacă ordonata este pozitivă, atunci axa mare este verticală.
Dacă atunci ecuația descrie fie un cerc, fie o altă elipsă, fie nimic. Dacă ordonata punctului de maxim al parabolei corespunzătoare este pozitivă, atunci rădăcina sa pătrată descrie o elipsă, dar dacă ordonata este negativă, atunci descrie o mulțime vidă de puncte.
Iterare
Pentru a itera o funcție , se aplică funcția în mod repetat, folosind ieșirea unei iterații ca intrare pentru următoarea.
Nu se poate deduce întotdeauna forma analitică a lui , ceea ce înseamnă a n-a iterație a lui . (Exponentul poate fi extins și la numere negative, referindu-se la iterația inversei lui , dacă inversa există.) Dar există unele cazuri care se pot trata analitic.
De exemplu, pentru ecuația iterativă
se are
unde și Prin inducție,
poate fi obținut, unde se calculează ușor ca
În final, obținem
ca soluție.
Harta logistică
cu parametrul 2<r<4 poate fi rezolvată în anumite cazuri, dintre care unul este haotic și unul nu este. În cazul haotic r=4, soluția este
unde parametrul condiției inițiale este dat de . Pentru rațional, după un număr finit de iterații, devine o secvență periodică. Dar aproape toate valorile lui sunt iraționale, iar pentru irațional, nu se repetă niciodată – este neperiodică și prezintă dependență sensibilă de condițiile inițiale, astfel încât se spune că este haotică.
Soluția hărții logistice când r=2 este
pentru . Deoarece pentru orice valoare a lui în afară de punctul fix instabil 0, termenul tinde la 0 când n tinde la infinit, astfel încât tinde către punctul fix stabil
Funcție de gradul al doilea bivariată
O funcție de gradul al doilea bivariată este un polinom de gradul doi de forma
unde A, B, C, D și E sunt coeficienți fixați, iar F este termenul constant. O astfel de funcție descrie o suprafață cuadratică. Egalarea cu zero a lui descrie intersecția suprafeței cu planul care este o mulțime de puncte echivalentă unei secțiuni conice.
Minim/maxim
Dacă funcția nu are nici maxim, nici minim; graficul ei formează un paraboloid hiperbolic.
Dacă funcția are un minim dacă atât , cât și , și un maxim dacă atât , cât și ; graficul ei formează un paraboloid eliptic. În acest caz, minimul sau maximul apare în unde:
Dacă și funcția nu are nici maxim, nici minim; graficul ei formează un cilindru parabolic.
Dacă și funcția atinge maximul/minimul pe o dreaptă — un minim dacă A>0 și un maxim dacă A<0; graficul ei formează un cilindru parabolic.
Referințe
Legături externe
Categorie:Funcții algebrice Categorie:Funcții polinomiale