Integrală

În analiza matematică, integrala unei funcții este o generalizare a noțiunilor de arie, masă, volum și sumă. Procesul de determinare a unei integrale se numește integrare. Spre deosebire de noțiunea înrudită de derivată, există mai multe definiții posibile ale integralei, fiecare cu suportul său tehnic. Acestea sunt însă compatibile. Oricare două moduri de integrare a unei funcții vor da aceleași rezultate când ambele sunt definite.

thumb|250px|Integrala definită reprezintă aria regiunii delimitate de graficul unei funcții

În mod intuitiv, integrala unei funcții continue, pozitive, f(x), de variabilă reală și luând valori reale între două puncte a și b, reprezintă valoarea ariei mărginite de segmentele x=a, x=b, axa x și graficul funcției f(x). Formal, considerând

atunci integrala funcției f între a și b este măsura lui S.

Termenul "integrală" se poate referi și la noțiunea de primitivă a unei funcții, adică o funcție F a cărei derivată este funcția dată f. În acest caz, se numește integrală nedefinită, pe când integralele discutate în acest articol sunt numite integrale definite. Integrala definită este denumită și integrala Riemann (conform Encyclopaedia Britannica).

Principiile integrării au fost enunțate de Isaac Newton și Gottfried Wilhelm Leibniz la sfârșitul secolului al XVII-lea. Prin teorema fundamentală a calculului integral, pe care au dezvoltat-o independent unul de altul, integrarea este legată de derivareNicolae N. Mihăileanu, Istoria matematicii, volumul II, p. 220, iar integrala definită a unei funcții poate fi ușor calculată odată ce este cunoscută o primitivă a ei. Matematicienii secolului al XVIII-lea considerau de la sine înțeleasă existența unei integrale pentru funcții elementare, chiar în situația când nu se poate calcula.

Integralele și derivatele au devenit uneltele de bază ale analizei matematice, cu numeroase aplicații în știință și inginerie.

O definiție riguroasă a integralei a fost dată de Bernhard Riemann. Ea este bazată pe o trecere la limită prin care se aproximează aria unei regiuni curbilinii prin descompunerea acesteia în zone verticale subțiri. Din secolul al XIX-lea, au început să apară tipuri de integrale mai sofisticate, în care atât tipul funcției cât și domeniul peste care se face integrarea au început să fie generalizate. O integrală curbilinie este definită pentru funcții de două sau trei variabile, iar intervalul de integrare este înlocuit de o anumită curbă care leagă două puncte din plan sau din spațiu. Într-o integrală de suprafață, curba este înlocuită de o bucată de suprafață din spațiul tridimensional.

Integralele formelor diferențiale joacă un rol fundamental în geometria diferențială modernă. Aceste generalizări ale integralelor au apărut datorită necesităților din fizică, și joacă un rol important în formularea multor legi din fizică, în principal a celor din electrodinamică. Conceptele moderne ale integrării se bazează pe teoria matematică abstractă numită integrală Lebesgue, dezvoltată de Henri Lebesgue.

Leibniz a introdus notația standard a integralei, de forma unui S alungit. Integrala din paragraful anterior se notează . Semnul ∫ notează integrarea, a și b sunt extremitățile intervalului, f(x) este funcția care se integrează, iar dx notează variabila în care se face integrarea. La început, dx reprezenta o "cantitate infinitezimală", iar S-ul alungit însemna „sumă”. Însă teoria modernă a integralei este construită pe alte fundamente, iar aceste simboluri tradiționale au devenit simple notații.

Terminologie și notație Dacă o funcție are integrală, ea se numește integrabilă. Funcția pentru care se calculează integrala se mai numește integrand. Regiunea peste care este integrată o funcție se numește domeniu de integrare. În general, integrandul poate fi o funcție de mai multe variabile, iar domeniul de integrare poate fi o suprafață, un volum, o regiune de dimensiune superioară sau un spațiu abstract care nu are o structură geometrică în sensul obișnuit.

Cazul cel mai simplu, integrala unei funcții reale f de o variabilă reală x pe un interval , se notează cu

Simbolul ∫ un „S” alungit, reprezintă integrarea; a și b sunt limita inferioară și limita superioară de integrare, definind domeniul de integrare; f este integrandul, de evaluat în funcție de variația lui x în intervalul iar dx poate avea diferite interpretări în funcție de teoria folosită. De exemplu, poate fi văzut doar ca un indicator al faptului că x este 'variabila de integrare', ca o reflecție a ponderilor din suma Riemann, o măsură (în integralele Lebesgue și extensiile acestora), o cantitate matematică infinitezimală (în analiza nestandard) sau independentă: o formă diferențială. Cazurile mai complicate pot varia cumva notația.

Introducere Integralele apar în multe situații practice. Să considerăm un bazin. Dacă este dreptunghiular, atunci din lungimea, lățimea și adâncimea lui se poate determina cu ușurință volumul de apă pe care-l poate conține, suprafața lui, și lungimea muchiei. Dar dacă bazinul este oval și are și fundul rotunjit, calculul acestor cantități necesită integrale. Aproximările practice pot fi la început suficiente dar în cele din urmă sunt necesare soluții riguroase ale acestor probleme.

thumb|right|Aproximări ale integralei funcției √x de la 0 la 1, cu ■ 5 probe (sus) și ■ 12 probe (jos) Pentru început, să considerăm curba y = f(x) între x = 0 și x = 1, cu . Întrebarea este: Care este aria de sub graficul lui f, pe intervalul de la 0 la 1? să numim această arie integrala lui f. Notația pentru această integrală este .

Într-o primă aproximare, se consideră pătratul unitar dat de laturile x=0 la x=1 și y=f(0)=0 și y=f(1)=1. Aria sa este exact 1. Se pare că valoarea reală a integralei trebuie să fie puțin mai mică. Scăzând lungimea dreptunghiurilor de aproximare se obține un rezultat mai bun; deci se împarte intervalul în cinci pași, folosind punctele de aproximare 0, , , și tot așa până la 1. Se construiește pentru fiecare pas câte un dreptunghi cu înălțimea egală cu valoarea la capătul din dreapta al bucății de curbă corespunzător, respectiv , , și tot așa până la . Însumând ariile acestor dreptunghiuri, se obține o aproximare mai bună a integralei, și anume

Se observă că luăm o sumă de un număr finit de valori ale funcției f, înmulțite cu diferența dintre două puncte consecutive de aproximare. Se vede ușor că aproximarea este încă prea largă. Folosirea mai multor pași produce o aproximare mai bună, dar nu vom fi niciodată exacți: înlocuind cele 5 subintervale cu douăsprezece subintervale, se obține o valoare aproximativă pentru arie de 0,6203, care este prea mică. Ideea esențială este tranziția de la a aduna un număr finit de distanțe dintre puncte de aproximare înmulțite cu valori corespunzătoare ale funcției la folosirea unor pași infinit de fini, sau infinitezimali. Notația

definește integrala ca o sumă ponderată (notată cu "S"-ul alungit), cu valorile funcției (cum ar fi înălțimile, y = f(x)) înmulțite cu lungimi de pași infinitezimali, așa-numitele diferențiale (notate cu dx).

În ce privește calculul efectiv al integralelor, teorema fundamentală a calculului integral, dezvoltată de Newton și Leibniz, este legătura fundamentală între operațiile de derivare și integrare. În condiții potrivite, valoarea unei integrale pe o regiune poate fi determinată privind doar limitele regiunii. Aplicată curbei rădăcinei pătrate, considerăm funcția , și se calculează F(1)−F(0), unde 0 și 1 sunt limitele intervalului .Acesta este un exemplu al regulii generale acela pentru f(x) = xq, cu q ≠ −1, funcția numită primitivă este F(x) = (xq+1)/(q+1).

În istorie, după eșecul primelor eforturi de a defini riguros cantitățile infinitezimale, Riemann a definit formal integralele ca limite ale unor sume ponderate ordinare, astfel încât dx sugera limita unei diferențe (și anume mărimea intervalului). Defectele dependenței lui Riemann de intervale și continuitate au motivat noi definiții, mai ales integrala Lebesgue, bazată pe abilitatea de a extinde ideea de "măsură" în moduri mult mai flexibile. Astfel, notația

se referă la o sumă ponderată în care valorile funcțiilor sunt împărțite, cu μ o pondere ce se asociază fiecărei valori. (Aici se notează cu A domeniul de integrare.) Geometria diferențială dă notația familiară fără altă interpretare. Acum f(x) și dx devin o formă diferențială, ω = f(x)dx, apare un nou operator diferențial d, cunoscut ca diferențiala, iar teorema fundamentală devine o teoremă mai generală, teorema lui Stokes,

de unde derivă teorema lui Green, teorema de divergență, și teorema fundamentală a calculului integral.

Deși există diferențe între aceste concepte de integrală, ele se suprapun considerabil. Astfel, aria suprafeței bazinului oval poate fi tratată ca o elipsă, o sumă de infinitezimali, o integrală Riemann, o integrală Lebesgue, sau un spațiu euclidian cu o formă diferențială. Rezultatul obținut va fi același.

Definiții Există mai multe moduri de definire a integralelor, și nu toate sunt echivalente între ele. Diferențele au apărut mai ales din nevoia de a trata diferitele cazuri speciale de funcții care nu sunt integrabile sub o anume definiție, dar ocazional și din motive pedagogice. Cele mai comune definiții sunt cele ale integralei Riemann și a integralei Lebesgue.

Integrala Riemann

thumb|right|Integrală abordată ca sumă Riemann pe o diviziune, cu poziții și lățimi de eșantionare neregulate (lățimea maximă cu roșu). Valoarea reală este 3.76; cea estimată este 3.648. Integrala Riemann este definită în termeni de sume Riemann ale unor funcții în raport cu diviziuni ale intervalului. Fie [a,b] un interval închis de pe dreapta reală; atunci o diviziune cu puncte intermediare a lui [a,b] este o secvență finită

thumb|250px|left|Sume Riemann care converg odată cu înjumătățirea intervalului de diviziune, eșantionate la ■ dreapta, ■ minim, ■ maxim, sau ■ stânga. Aceasta împarte intervalul [a,b] în n sub-intervale [xi−1, xi], fiecare având un punct ales ξi ∈ [xi−1, xi]. Fie Δi = xi−xi−1 lățimea sub-intervalului i; atunci norma unei astfel de diviziuni este lățimea celui mai mare subinterval format de diviziune, maxi=1…n Δi. O sumă Riemann a unei funcții f în raport cu o astfel de diviziune este

astfel fiecare termen al sumei este aria dreptunghiului cu înălțimea egală cu valoarea funcției în punctul ales al subintervalului dat, și cu lățimea egală cu lățimea subintervalului. Integrala Riemann a unei funcții f pe intervalul [a,b] este egală cu S dacă: Oricare ar fi ε > 0 există δ > 0 astfel încât, oricare ar fi o partiție [a,b] cu norma mai mică decât δ, avem

Când valorile intermediare alese sunt valoarea maximă (respectiv, minimă) a funcției pe fiecare interval, suma Riemann devine o sumă Darboux superioară (respectiv, inferioară), sugerând legătura strânsă între integrala Riemann și integrala Darboux.

Integrala Lebesgue

Integrala Riemann nu este definită pentru o gamă largă de funcții și situații cu importanță în aplicații (și de interes în teorie). De exemplu, integrala Riemann poate fi folosită pentru a integra densitatea și a găsi astfel masa unei bare de oțel, dar nu poate trata cazul unei bile de oțel care stă pe aceasta. Din această cauza au apărut și alte definiții, care permit unei game mai largi de funcții să fie integrabile Rudin, 1987. În particular, integrala Lebesgue aduce o mare flexibilitate atrăgând atenția asupra ponderilor din sumă.

Astfel, definiția integralei Lebesgue începe cu o măsură μ. În cazul cel mai simplu, măsura Lebesgue μ(A) a unui interval A = [a,b] este lățimea sa, b − a, astfel încât integrala Lebesgue este echivalentă cu integrala Riemann proprie atunci când există amândouă. În cazuri mai complicate, mulțimile măsurate pot fi foarte fragmentate, fără vreo continuitate sau vreo asemănare cu intervalele.