1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

thumb|Primele 15 mii de sume parțiale ale șirului 1 − 2 + 3 − 4 + … În analiza matematică, seria infinită 1 - 2 + 3 - 4 + … este o serie alternată ai cărei termeni sunt numerele întregi pozitive succesive. Folosind notația însumării, suma parțială a primilor m termeni ai seriei poate fi exprimată ca:

Seria infinită diverge, adică șirul său de sume parțiale, , nu tinde înspre o limită finită. Astfel de serii nu au sumă în sensul uzual al noțiunii de ”sumă” a seriei, lucru clarificat încă din 1755 de Leonhard Euler, în Institutiones Calculi Differentialis. Euler avea să enunțe, în același secol al XVIII-lea, ceea ce în opinia lui era o egalitate paradoxală:

În fapt, Euler mai notează și alte egalități ”dincolo de puterea de înțelegere” :

Înainte de Cauchy, în locul întrebării ”Cum să definim 1 - 1 + 1 - 1 + 1... ?”, întrebarea firească folosită era ”Ce este o sumă precum 1 - 1 + 1 - 1 + 1... ?” ceea a condus, alături de o anumită perplexitate a minții, către discuții deseori foarte aprinse.

Către sfârșitul secolului al XIX-lea, metodele de sumare ale seriilor divergente au început să fie studiate sistematic, constituind o nouă ramură a matematicii. Începând cu 1890, Ernesto Cesàro, Émile Borel și alții au investigat metode clar definite de a atribui o „sumă generalizată” unor serii divergente. Astfel pot fi menționate transformarea liniară sau metodele Cesàro, Abel, Borel, Euler, Norlund, Riesz sau Riemann. Multe dintre aceste metode de sumare vor aloca pentru valoarea de . Sumarea lui Cesàro este unul dintre procedeele care nu furnizează nicio valoare.

Seria 1 − 2 + 3 − 4 + … este strâns legată de seria lui Grandi, . Euler le-a tratat pe acestea ca fiind cazuri particulare ale seriei pentru n arbitrar, o direcție de cercetare care extinde activitatea sa asupra problemei Basel spre ecuațiile funcționale a ceea ce este cunoscut în prezent ca funcția eta Dirichlet și funcția zeta Riemann.

Divergența

Termenii seriei nu tind către 0; prin urmare, diverge, conform primului criteriu de convergență pentru serii. Prin definiție, convergența sau divergența unei serii infinite este determinată de convergența sau divergența șirului de sume parțiale, iar în acest caz, sumele parțiale pentru sunt: 1 = 1, 1 − 2 = −1, 1 − 2 + 3 = 2, 1 − 2 + 3 − 4 = −2, 1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3, 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3, …

Șirul Sm = arată clar că seria nu converge spre o anumită valoare (pentru orice limită x propusă, există drept exempluNegația afirmației "Șirul Sm converge", adică "∃ o valoare x pentru care ", sau mai precis "", este: "". intervalul [x-1, x+1] o vecinătate a lui x în care nu se acumulează valorile lui Sm: pentru orice N număr natural se poate găsi un punct dincolo de aceasta pentru care suma parțială nu aparține intervalului fixat, [x-1, x+1]), deci seria este divergentă.

Un rezultat colateral se obține observând că în timp ce termenii din stânga ai egalităților de mai sus parcurg numerele naturale, cei din dreapta parcurg numerele întregi. Dacă se adăugă în lista de egalități și suma parțială vidă, 0 = 0, se obține o corespondență biunivocă între numerele naturale și cele întregi și astfel se stabilește numărabilitatea mulțimii de numere întregi.

Convergența În cazul în care numerele implicate în serie sunt înțelese ca numere complexe, seria se poate scrie

Pentru aceasta, mulțimea a numerelor complexe trebuie completată cu numărul , devenind , sau, echivalent, planul complex se completează cu dreapta de la infinit, devenind planul proiectiv (sau sfera Riemann). În teoria speciilor acest procedeu se numește și „integrarea unei specii”

În acest caz seria poate fi considerată drept convergentă, iar suma ei este numărul .

Euristici pentru însumare Liniaritate și stabilitate O serie absolut convergentă rămâne convergentă, cu aceeași sumă, la orice reordonare sau regrupare a termenilor. Spre deosebire de acestea, seriile divergente pot fi reordonate și regrupate astfel încât să furnizeze rezultate diferite.

Dacă însă se restricționează operațiile posibile la acelea care satisfac două principii, numite de liniaritate și de stabilitate, care sunt dintre cele mai simple cerințe pentru o posibilă definire a ”sumei”, va deveni cel mai întâlnit candidat pentru titlul de ”sumă” a seriei. Liniaritate (sumare termenilor corespondenți): [a1 + a2 + a3 + ... ] + [ b1 + b2 + b3 +...] = (a1 + b1) + (a2 + b2) + (a3 + b3) + ... Stabilitate (separarea primului termen ): a1 + a2 + a3 + ... = a1 + [a2 + a3 + ...] Din moment ce termenii 1, −2, 3, −4, 5, −6, … urmează un tipar simplu, seria poate fi manipulată prin separarea primului termen (stabilitate) și adunarea termenilor corespondenți (liniaritate) pentru a obține o valoare numerică. Următoarele calcule, folosind regulile de liniaritate și stabilitate, conduc la prezintă un calcul (tot prin liniaritate și stabilitate) care reduce evaluarea seriei la evaluarea seriei lui Grandi, .

thumb|right|Însumând 4 copii a folosind doar separarea primului termen și adunarea termenilor corespondenți, rezultatul reiese 1. Partea stângă și partea dreaptă, prezintă câte două copii a , completând calculele pentru Deci, . Această derivare este ilustrată grafic în imaginea din dreapta.

Deși 1 − 2 + 3 − 4 + … nu are o sumă în sensul obișnuit, ecuația poate fi considerată drept cea mai firească valoare a sumei seriei, în caz că această sumă trebuie definită. Întrucât există diverse procedee de a atribui unei serii o valoare care să-i corespundă drept sumă, acestea numindu-se metode de sumare (sau de însumare), studiul acestora se face pe baza proprietăților întâlnite la seriile convergente. Ce a fost demonstrat mai sus este afirmația: "Orice metodă de sumare liniară și stabilă va atribui seriei suma ." Mai mult, deoarece:

o astfel de metodă de sumare va atribui seriei lui Grandi suma

Unele dintre metodele de sumare ce pot fi folosite pentru seria de față sunt descrise mai jos.

Produsul Cauchy În 1891, Ernesto Cesàro a exprimat speranța că seriile divergente ar putea fi riguros încadrate în analiza matematică, subliniind : „Putem deja scrie și afirma că ambele părți sunt egale cu .” Pentru Cesàro, acestă ecuație rezulta prin aplicarea unei teoreme pe care o publicase cu un an mai devreme, și care poate fi socotită drept prima teoremă din istoria seriilor divergente sumabile. Detaliile metodei lui de însumare sunt arătate mai jos; ideea principală este că este produsul Cauchy al seriei lui Grandi, , cu ea însăși.

Produsul Cauchy a două serii infinite poate fi definit independent de convergența lor, prin formula termenului general al seriei-produs: . În cazul în care , termenii produsului Cauchy sunt generați de sumele finite diagonale:

Atunci seria-produs este aceasta:

De aceea orice metodă de însumare compatibilă cu produsul Cauchy și care asignează va furniza totodată suma . Împreună cu rezultatul obținut în secțiunea anterioară, rezultă echivalența sumabilității seriilor și prin metode liniare, stabile și care respectă produsul Cauchy (compatibile cu produsul Cauchy).

Metode specifice Cesàro și Hölder thumb|right|Prezentarea sumei (H, 2) de Pentru a găsi suma seriei conform metodei lui Cesàro (C, 1), dacă aceasta este definită, este necesar calculul mediilor aritmetice ale sumelor parțiale ale seriei. Sumele parțiale sunt:

1, −1, 2, −2, 3, −3, ...,

și mediile aritmetice ale acestor sume parțiale sunt:

1, 0, , 0, , 0, , ....

Acest șir nu converge (întrucât conține două subșiruri convergente la valori diferite: termenii impari tind la , iar cei pari la 0), deci nu este sumabilă după metoda (C, 1) a lui Cesàro.

Există două generalizări bine-cunoscute pentru sumarea lui Cesàro: dintre acestea, cea mai simplă din punct de vedere conceptual este șirul (H, n) de metode de sumare, cu n număr natural arbitrar. Suma (H, 1) este sumarea lui Cesàro explicată mai sus, iar metodele succesive din șir se obțin prin aplicarea repetată a metodei de sumare a lui Cesàro pe șirurile de medii aritmetice anterioare. Mai sus, subșirul mediilor pare converge la , în timp ce cel al mediilor impare este constant egal cu 0, de aceea șirul (H, 2) al mediilor aritmetice ale mediilor aritmetice (H, 1) / (C, 1) va converge către media aritmetică dintre 0 și , anume .Pentru mai multe calcule complete, vezi Deci seria este sumabilă (H, 2) la .

Notația prin «H» a acestor metode succesive provinde de la Otto Hölder, care a demonstrat pentru prima dată în anul 1882 ceea ce matematicienii acum consideră drept legătura dintre metoda lui Abel și sumările (H, n); iar seria a fost primul său exemplu.Ferraro critică explicația lui Tucciarone asupra modului în care Hölder însuși privea rezultatul general, dar explicațiile celor doi autori în privința tratării seriei sunt similare. Faptul că este suma (H, 2) a seriei garantează faptul că este și suma conform metodei lui Abel; aceasta va fi dovedită în mod direct mai jos.

Cealaltă generalizare a metodei de sumare a lui Cesàro este șirul de metode (C, n). A fost dovedit ulterior faptul că sumările (C, n) și (H, n) dau întotdeauna aceleași rezultate, dar istoria începuturilor lor diferă. În anul 1887 Cesàro aproape a reușit să definească însumările (C, n), dar s-a limitat la câteva exemple. În special, el a obținut suma de pentru printr-o metodă care poate fi acum numită (C, n), dar care nu era justificată la momentul respectiv. El a definit apoi în mod formal metodele (C, n) în 1890, pentru a formula teorema conform căreia produsul Cauchy între o serie sumabilă (C, n) și una sumabilă (C, m) este o serie sumabilă (C, m + n + 1).

Abel thumb|left|120px|Sume parțiale ale și limite la x=1 Într-un raport din anul 1749, Leonhard Euler admite că seria diverge, dar planifică să-i găsească suma:

„...când se spune că suma seriei este , poate părea paradoxal. Pentru că adunând 100 de termeni ai acestei serii se obține −50, iar suma a 101 termeni este +51, ceea ce diferă destul de mult de , iar această diferență crește odată cu mărirea numerului termenilor. Dar eu am observat mai devreme că este necesar să se atribuie noțiunii de adunare un sens mai larg...”Deși lucrarea a fost scrisă în 1749, ea nu a fost publicată până în 1768 .

Euler a propus generalizări ale noțiunii de „adunare” de mai multe ori. În cazul seriei ideile lui sunt similare cu ceea ce este acum cunoscut sub numele de metoda de sumare a lui Abel:

„...nu mai este dubios că suma seriei este de ; întrucât provine din dezvoltarea formulei , a cărei valoare este incontestabil . Ideea devine mai clară după luarea în considerare a seriei generale 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + 5x4 − 6x5 + &c. care apare în urma dezvoltării expresiei , cu care această serie este într-adevăr egală după alegerea lui x = 1.”

Există mai multe modalități de a vedea că, cel puțin pentru valorile absolute |x| < 1, Euler are dreptate că

Membrul drept poate fi dezvoltat în serie Taylor, sau se poate folosi algoritmul de împărțire a polinoamelor. Pornind de la membrul stâng, se poate înmulți de două ori cu (1+x) sau se poate ridica la pătrat seria geometrică Euler sugereză de asemenea diferențierea termen cu termen a seriei din urmă.De exemplu, Lavine pledează pentru algoritmul de împărțire, dar nu îl efectuează; Vretblad calculează produsul Cauchy. Sfatul lui Euler este confuz; vezi . John Baez sugerează chiar o metodă de teoria categoriilor care implică mulțimi etichetate multiplu și oscilatorul armonic cuantic.Baez, John C. Dovada lui Euler că 1 + 2 + 3 + ... =-1/12 (PDF). math.ucr.edu (19 decembrie 2003). Accesată la 11 martie 2007.

Din punctul de vedere modern, seria de puteri nu definește o funcție pentru așa că valoarea nu poate fi pur și simplu înlocuită în expresia dezvoltată. Deoarece funcția este definită pentru toți se poate lua în continuare limita când x se apropie de 1, aceasta fiind definiția sumării lui Abel:

Euler și Borel right|thumb|Însumarea lui Euler pentru −