Ecuațiile Navier–Stokes, numite așa după Claude-Louis Navier și George Gabriel Stokes, descriu mișcarea fluidelor. Aceste ecuații au luat naștere prin aplicarea legii a doua a lui Newton la mișcarea fluidelor împreună cu ipoteza că tensiunea fluidului este proporțională cu gradientul vitezei (fluid Newtonian), la care se adaugă gradientul presiunii.
Ecuațiile Navier-Stokes sunt folosite în foarte multe domenii ale mecanicii fluidelor pentru a modela, de exemplu, mișcarea curenților atmosferici, ai curenților oceanici, curgerea fluidelor prin tuburi, curgerea aerului în jurul unei aripi de avion, pentru mișcarea din interiorul stelelor, miscarea galaxiilor, etc. Ecuațiile Navier-Stokes, în formă completă sau simplificată, sunt de asemenea folositoare la proiectarea avioanelor și mașinilor, la studiul curgerii sângelui prin vene, la proiectarea stațiilor de putere, la analiza poluării mediului înconjurător, etc. Cuplate cu ecuațiile lui Maxwell ele pot fi folosite la modelarea și studiul magnetohidrodinamicii. De asemenea, aceste ecuații sunt studiate din punct de vedere pur matematic. Nu s-a reușit încă să se demonstreze pentru cazul tridimensional existența soluțiilor, sau dacă ele există, conțin sau nu singularități sau discontinuități. Aceasta este numită problema de existență și netezime Navier-Stokes.
Ecuațiile Navier-Stokes dau viteza și nu poziția unui element de fluid. O soluție a ecuațiilor Navier-Stokes este numită câmpul de viteze, care reprezintă viteza fluidului într-un punct din spațiu și timp. O dată ce este cunoscut câmpul de viteze, se pot obține și alte mărimi de interes. Acest lucru este diferit de ceea ce știm din mecanica clasică, unde soluțiile erau traiectorii ale elementelor de fluid. Determinarea vitezelor în loc de poziții are mai mult sens în mecanica fluidelor, totuși, pentru vizualizare se trasează traiectoriile elementelor de fluid.
Proprietăți Neliniaritatea Ecuațiile Navier-Stokes, în cele mai multe situații, sunt ecuații cu derivate parțiale neliniare. În unele cazuri, precum curgere unidimensională sau fluid Stokes, ecuațiile se pot simplifica și aduse la forma liniară. Neliniaritatea face ca rezolvarea ecuațiilor să fie mult mai dificilă, sau chiar imposibilă, cum este cazul scurgerii turbulente.
Neliniaritatea într-un fluid se datorează în special accelerației convective, indiferent dacă curgerea fluidului este laminară sau turbulentă.
Turbulența Turbulența este comportarea haotică dependentă de timp observată în curgerea fluidelor, și se crede că această comportare se datorează inerției fluidului considerat ca un tot. Acolo unde efectele inerțiale ale fluidului sunt mici, curgerea lui tinde spre o curgere laminară, numărul Reynolds arătând cât de mult este afectată curgerea fluidului de inerția lui. De asemenea se crede, dar nu se știe cu ceritudine, că ecuațiile Navier-Stokes descriu corect curgerea turbulentă.
Rezolvarea numerică a ecuațiilor Navier-Stokes, pentru cazul turbulent, este extrem de dificilă, datorită diferențelor semnificative dintre scările de lucru implicate într-o astfel de mișcare. Astfel, o soluție numeric stabilă cere o rețea atât de fină încât calculul devine imposibil de realizat. Încercarea de a rezolva curgerea turbulentă prin intermediul curgerii laminare, rezultă într-o soluție nestaționară în timp și neconvergentă. De aceea, în practică, pentru astfel de calcule (CFD), se folosește o ecuație de mediere a timpului precum ecuația de mediere Navier-Stokes-Raynolds (RANS), suplimentată cu un model de turbulență, precum modelul k-ε. O altă tehnică de a rezolva numeric ecuațiile Navier-Stokes este simularea cu vârtejuri (LES), aceasta fiind mai costisitoare decât metoda RANS, dar produce rezultate mai bune, deoarece scările turbulente mari sunt rezolvate explicit.
Aplicabilitate Împreună cu ecuația de continuitate (conservarea masei) și formularea corectă a condițiilor la limită, ecuațiile Navier-Stokes modelează cu acuratețe curgerea fluidului, chiar și a curgerilor turbulente, deși în medie, pentru a fi în acord cu observațiile reale.
Ecuațiile Navier–Stokes presupun că fluidul studiat este un mediu continuu care nu se mișcă cu viteză relativistă. La scară foarte mică sau în condiții extreme, evident fluidul nu mai poate fi considerat continuu, și soluțiile ecuațiilor Navier-Stokes vor fi diferite de cele ale mediilor continue. În aceste cazuri, mult mai apropiate de realitate sunt modelările statistice sau chiar prin dinamică moleculară. Diferențierea dintre un mediu continuu și un mediu discret este dată de numărul Knudsen.
În mod uzual, ecuațiile Navier-Stokes sunt scrise pentru fluidele cunoscute sub numele de fluide newtoniene. Aceste fluide au tensiunile tangențiale dintre două straturi vecine proporționale cu viteza de deformare, coeficientul de proporționalitate numindu-se viscozitate. Desigur, există și fluide care nu au această proprietate, ele numindu-se fluide nenewtoniene, fluide la care legile dintre tensiunile tangențiale și viteza de deformare au forme neliniare.
Deducere și descriere
Deducerea ecuațiilor Navier–Stokes începe prin aplicarea legii a doua a lui Newton (conservarea impulsului), lege scrisă pentru un volum de control arbitrar. Într-un sistem de referință inerțial, forma generală a ecuației unui fluid în mișcare este:Batchelor (1967) pp. 137 & 142.
în care, v este viteza fluidului, ρ densitatea, p presiunea, tensorul tensiunilor, f reprezintă forțele exterioare (pe unitatea de volum) care acționează asupra fluidului, iar este operatorul nabla. De fapt, această ecuație este aplicabilă oricărui mediu continuu nerelativist și este cunoscută ca ecuația impulsului Cauchy.
De multe ori ecuația se scrise folosind derivata substanțială, făcând-o mult mai asemănătoare cu legea a doua a lui Newton:
Partea stângă a ecuației reprezintă accelerația, și poate fi compusă din efecte dependente de timp și convective, sau, dacă sunt prezente, efectul coordonatelor neinerțiale. Partea dreaptă reprezintă suma tuturor forțelor care actionează asupra volumului de control, precum forța gravitațională, gradientul de presiune și tensorul tensiunilor.
Accelerația convectivă O caracteristică semnificativă a ecuației Navier-Stokes este prezența accelerației convective, dependentă de coordonate și independentă de timp, reprezentată de cantitatea neliniară:
care poate fi interpretată ca sau ca , în care este derivata tensorială a vectorului viteză . Ambele interpretări dau același rezultat, independent de sistemul de coordonate, arătând că este interpretat ca o derivată covariantă. pp. 6–7.
Interpretată ca (v•∇)v Termenul convectiv se scrie adesea sub forma:
în care se folosește operatorul advectiv . Uzual este preferată această reprezentare deoarece este mai simplă decât cea în termenii derivatei tensoriale
Interpretată ca v•(∇v) Aici este derivata tensorală a vectorului viteză, egală în coordonate carteziene cu componentele gradientului pe cele trei direcții. Termenul convectiv mai poate fi exprimat fară ajutorul derivatei tensoriale, și anume, direct prin folosirea identitaților calculului vectorial:See Batchelor (1967), §3.5, p. 160.
Această formă este folosită în special în curgerea irotațională, în care rotorul vitezei, numit și vorticitate, este egal cu zero, adică .
Dar, indiferent în ce fel de fluid este tratată, accelerația convectivă apare ca un efect de neliniaritate asupra curgerii fluidului. Accelerația convectivă este prezentă în majoritatea curgerii fluidelor, cu excepția curgerilor incompresibile unidimensionale, dar efectul său dinamic este luat în considerație în curgerile lente, numite și curgeri Stokes.
Tensiunile Efectul tensiunii într-un fluid este dat de termenii și , care reprezintă gradienții forțelor de suprafață, similari cu tensiunile dintr-un solid. se numește gradientul presiunii și derivă din partea izotropă a tensorului tensiunilor, dată în toate situațiile de tensiunea normală la suprafața volumului de lucru considerat. este partea anizotropă a tensorului tensiunilor, care convențional descrie forțele de frecare. Pentru fluidele incompresibile reprezintă numai efectul de forfecare. Astfel, este tensorul tensiunilor viscoase, sau deviator, iar tensorul tensiunilor este dat de ecuația:Batchelor (1967) p. 142.
unde este matricea identitate 3×3. Interesant este faptul că, în această ecuație apare doar gradientul presiunii, nu și presiunea. Efectul gradientului de presiune arată că fluidul curge de la presiune ridicată către presiune scazută.
Termenii p și nu sunt cunoscuți și din acest motiv ecuațiile de miscare în forma generală nu pot fi folosite pentru rezolvarea problemelor. Deci, în afară de ecuațiile de mișcare avem nevoie de un model care să cupleze tensiunea la mișcarea fluidului, Vol. 1, §9–4 and §12–1. O astfel de relație se numește relație constitutivă. În acest scop, s-au făcut diverse ipoteze în ceea ce privește comportarea specifică a fluidului, ipoteze bazate pe observatii naturale și aplicate în scopul specificării tensiunilor în termenii variabilelor fluidului, precum viteză și densitate.
Ecuațiile Navier-Stokes rezultă din următoarele ipoteze asupra tensorului tensiunilor viscoase :Batchelor (1967) pp. 142–148. tensiunile viscoase dispar pentru fluidele care sunt în repaus, iar datorită invarianței galileene acestea nu depind direct de viteza fluidului, ci numai de derivatele spațiale ale vitezei fluidului. în ecuațiile Navier–Stokes, tensiunile viscoase sunt exprimate ca produs al gradientului tensorului al vitezei fluidului cu tensorul de viscozitate , adică: . fluidul este presupus a fi izotrop, ipoteză valabilă pentru gaze și lichide, în acest caz fiind un tensor izotrop; mai mult, deoarece tensorul tensiunile viscoase este simetric, rezultă că poate fi exprimat în termenii a doi scalari ai viscozității dinamice și :
în care , este divergența, care exprimă viteza de expansiune a fluidului, iar , tensorul vitezei de deformare tensorul tensiunile viscoase are urma egală cu zero, astfel încât, pentru un fluid tridimensional avem .
În final, tensorul tensiunile viscoase al ecuațiilor Navier-Stokes are următoarea formă:
în care, cantitatea dintre paranteze exprimă partea neizentropică a tensorului vitezei de deformare . Viscozitatea dinamică nu este constantă în general, ea depinzând de condițiile de lucru precum temperatură și presiune, sau în modelarea curgerilor turbulente depinzând de conceptul de curgere turbulentă viscoasă folosit la aproximarea tensiunii medii a viscozității.
Presiunea este modelată folosind una din ecuațiile de stare existente.Batchelor (1967) p. 165. În cazul special al fluidelor incompresibile, presiunea constrânge fluidul în așa fel încât volumul elementului de fluid rămâne constant, rezultând o curgere izocoră într-un câmp de viteze solenoidal, în care Batchelor (1967) p. 75.
Alte forțe Câmpul vectorial f reprezintă "alte" forțe. Tipic această forță este numai gravitația, dar pot fi incluse și alte câmpuri, precum cele electromagnetice. Într-un sistem de coordonate neinerțial, pot fi introduse alte forțe precum cele asociate cu mișcările relative.
Adesea, aceste forțe pot fi reprezentate drept gradientul unei mărimi scalare. De exemplu gravitația, are direcția z și este reprezentată drept gradientul funcției U = -ρgz. Deoarece și presiunea apare în ecuație prin gradientul ei, putem rezolva problema fără a adăuga explicit aceste forțe, ci numai prin simpla modificare corespunzătoare a presiunii.
Alte ecuații Ecuațiile Navier-Stokes exprimă strict legea de conservare a impulsului. În scopul descrierii totale a curgerii fluidului, avem nevoie de mai multe informații (care depind de ipotezele pe care le facem). Aceste informații pot include condițiile la limită, conservarea masei, conservarea energiei, sau o ecuație de stare.