miniatura|Trei plane care trec prin origine și au un singur punct comun, originea (0,0,0)
Inversarea matricilor este una dintre temele centrale ale algebrei liniare și ale calculului matricial. Pentru o matrice pătrată , problema se pune dacă există sau nu o matrice cu proprietatea . Dacă o asemenea matrice există, ea este unică și se numește inversa lui , notată . Noțiunea apare în studiul determinantului, al rangului și al sistemelor de ecuații liniare, iar în practică oferă o descriere a rezolvării ecuațiilor matriceale și a schimbărilor de coordonate.László Szilárd Csaba, Peter Ioan Radu, Liana Timboș, Viorel Adrian, Elemente de algebră liniară, UTPRESS, Cluj-Napoca, 2023, ISBN 978-606-737-642-5, pp. 20–23 și 27–28Strict pentru notații, s-a utilizat Matematică, clasa a XI-a, Editura Corint, secțiunea „Matrice inversabile”
Definiție
Fie , unde este un corp. Matricea se numește inversabilă sau nesingulară dacă există o matrice astfel încât .
În acest caz, matricea este inversa lui , iar scrierea este . Inversa, atunci când există, este unică.László Szilárd Csaba, Peter Ioan Radu, Liana Timboș, Viorel Adrian, Elemente de algebră liniară, UTPRESS, Cluj-Napoca, 2023, pp. 20–21
Caracterizări echivalente ale inversabilității
Pentru o matrice pătrată , următoarele afirmații sunt adevărate: există
Prin transformări elementare pe linii, matricea se reduce la Sistemul omogen are numai soluția trivială László Szilárd Csaba, Peter Ioan Radu, Liana Timboș, Viorel Adrian, Elemente de algebră liniară, UTPRESS, Cluj-Napoca, 2023, pp. 23 și 26–28
Aceste caracterizări sunt extrem de utile, deoarece permit verificarea inversabilității prin diferite metode: determinantul, rangul, eliminarea Gauss-Jordan sau studiul nucleului aplicației liniare asociate matricei.
Legătura cu determinantul și rangul matricei
O matrice pătrată este inversabilă dacă și numai dacă . În acest caz se poate scrie formula
unde este matricea adjunctă a lui . Aceeași teoremă mai arată și că produsul dintre o matrice și adjuncta sa creează determinantul înmulțit cu matricea unitate.László Szilárd Csaba, Peter Ioan Radu, Liana Timboș, Viorel Adrian, Elemente de algebră liniară, UTPRESS, Cluj-Napoca, 2023, pp. 22–23Strict pentru notații, s-a utilizat Matematică, clasa a XI-a, Editura Corint, secțiunea „Matrice inversabile”
În termenii rangului, o matrice pătrată este inversabilă dacă și numai dacă are rang maxim, adică . Această condiție este echivalentă cu independența liniară a liniilor și a coloanelor matricei.
Din punct de vedere algebric, ea exprimă faptul că aplicația liniară asociată matricei este bijectiva spațiului vectorial, adică este simultan injectivă și surjectivă.László Szilárd Csaba, Peter Ioan Radu, Liana Timboș, Viorel Adrian, Elemente de algebră liniară, UTPRESS, Cluj-Napoca, 2023, pp. 26–28 și 130–131
Calculul inversei
Ordinul 2
Pentru o matrice de ordinul al doilea , formula este , cu condiția ca . Aceasta este cea mai rapidă metodă pentru a afla inversa în cazul matricei de ordin 2 și se verifică imediat prin înmulțire.
Exemplu. Fie . Atunci , deci
Verificarea se face prin produs: Exercițiul a fost luat și rezolvat din Matematică, clasa a XI-a, Editura Corint
Ordinul 3
Pentru matricile de ordinul al treilea, inversa poate fi calculată cu ajutorul formulei:
Aceasta este valabilă atunci când . În această formulă, este matricea adjunctă a lui , obținută prin transpunerea matricei complemenților algebrici.László Szilárd Csaba, Peter Ioan Radu, Liana Timboș, Viorel Adrian, Elemente de algebră liniară, UTPRESS, Cluj-Napoca, 2023, pp. 22–23
Exemplu. Fie matricea
Mai întâi se calculează determinantul:
de unde rezultă că există inversa matricei , adică
Se determină apoi complemenții algebrici ai elementelor matricei. În general, complementul algebric al elementului este definit prin relația
unde este minorul asociat elementului , adică determinantul submatricei obținute prin eliminarea liniei și a coloanei din matricea inițială.
Pentru matricea dată se obțin, de exemplu,
Calculând în același mod toți complemenții algebrici , se obține matricea complemenților algebrici:
Prin definiție, matricea adjunctă este transpusa matricei complemenților algebrice:
, adică în cazul nostru:
Transpunerea este necesară deoarece adjuncta nu este definită ca matricea complemenților algebrici însăși, ci ca transpusa acesteia.
În consecință,
Verificarea se poate face prin înmulțire directă:
, ceea ce confirmă corectitudinea calculelor.
Ordinul n
Pentru matricile de ordin arbitrar, cea mai utilizată metodă de calcul al inversei este metoda eliminării Gauss–Jordan. Aceasta are avantajul că poate fi aplicată oricărei matrici inversabile și nu necesită calculul determinantului sau al complemenților algebrici, care devin dificil de calculat pentru matricile de ordin mare.László Szilárd Csaba, Peter Ioan Radu, Liana Timboș, Viorel Adrian, Elemente de algebră liniară, UTPRESS, Cluj-Napoca, 2023, pp. 27–28
Metoda se bazează pe transformări elementare efectuate simultan asupra unei matrice și asupra matricei unitate de același ordin. Se construiește matricea extinsă , iar asupra acesteia se aplică succesiv transformări elementare pe linii până când partea stângă devine matricea unitate . Dacă acest lucru este posibil, partea dreaptă se transformă în inversa matricei inițiale:
În cazul în care partea stângă nu poate fi redusă la , matricea nu este inversabilă.
Transformările elementare admise sunt:
Schimbarea a două linii între ele; Înmulțirea unei linii cu un scalar nenul; Înlocuirea unei linii cu suma sa și un multiplu al altei linii
Aceste operații nu modifică mulțimea soluțiilor sistemului liniar asociat și permit reducerea treptată a matricei la o formă cât mai simplă.Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, CURS 5: Matrici. Determinanți, secțiunea „6.4. Inversa unei matrici cu transformări elementare”
Exemplu
Considerăm matricea triunghiular superioară
Se formează matricea extinsă
Scopul este eliminarea elementelor aflate deasupra diagonalei principale. Mai întâi se efectuează operația:
obținându-se:
Se elimină apoi elementul aflat pe poziția (2,3):
și se obține:
În final se elimină elementul aflat pe poziția (1,2):
rezultând
Partea stângă a devenit matricea unitate , iar partea dreaptă reprezintă inversa lui :
Verificarea se poate face prin înmulțirea directă: , ceea ce confirmă corectitudinea calculelor.
Metoda Gauss–Jordan este utilizată pe scară largă atât în algebră liniară teoretică, cât și în calculul numeric, deoarece poate fi aplicată sistematic matricilor de orice ordin și stă la baza multor algoritmi din programele de calcul matematic.
Matrici elementare și interpretarea transformărilor elementare
Metoda Gauss–Jordan se bazează pe aplicarea unor transformări elementare asupra liniilor unei matrice. Aceste transformări permit simplificarea matricei fără a modifica proprietățile fundamentale relevante pentru studiul sistemelor liniare și al inversabilității.
O transformare elementară pe linii este una dintre următoarele operații:
Schimbarea a două linii între ele; Înmulțirea unei linii cu un scalar nenul; Înlocuirea unei linii cu suma sa și un multiplu scalar al altei linii.
Aceste operații sunt reversibile. De exemplu, dacă două linii au fost interschimbate, operația poate fi anulată printr-o nouă interschimbare a acelorași linii. În mod similar, înmulțirea unei linii cu un scalar nenul poate fi anulată prin înmulțirea cu inversul acelui scalar, iar operația poate fi anulată prin aplicarea transformării .
O matrice elementară este matricea obținută din matricea unitate prin aplicarea unei singure transformări elementare. Astfel, fiecărei transformări elementare îi corespunde o matrice elementară și reciproc.
De exemplu, pentru ordinul 3, interschimbarea liniilor întâi și a doua ale matricei unitate produce matricea elementară
În același mod, înmulțirea primei linii cu numărul 2 duce la matricea elementară
iar operația , generează matricea elementară:
Importanța matricilor elementare rezultă din faptul că aplicarea unei transformări elementare asupra unei matrici poate fi exprimată printr-o înmulțire matricială. Dacă este matricea elementară asociată unei transformări pe linii și este o matrice arbitrară, atunci matricea obținută după efectuarea transformării respective este .
Prin urmare, succesiunea transformărilor elementare utilizate în metoda Gauss–Jordan poate fi interpretată ca o succesiune de înmulțiri la stânga cu matrici elementare.
Presupunând că printr-o serie de transformări elementare matricea este redusă la matricea unitate, se obține relația
, unde sunt matricile elementare asociate transformărilor efectuate.
Înmulțind această relație cu , rezultă
Această observație oferă justificarea teoretică a metodei Gauss–Jordan. În momentul în care partea stângă a matricei extinse
a fost transformată în , partea dreaptă a obținut exact produsul matricilor elementare aplicate și devine inversa matricei inițiale:
.
Matrici diagonale
Fie , o matrice diagonală. Aceasta este inversabilă dacă și numai dacă toate elementele de pe diagonala principală sunt nenule, adică:
În acest caz, inversa se obține prin înlocuirea fiecărui element diagonal cu inversul său:
Exemplu. Pentru
,
se obține:
Verificarea se face prin efectuarea produsului matricial:
Matrici triunghiulare
O matrice triunghiulară superioară este o matrice pătrată ale cărei elemente situate sub diagonala principală sunt nule, iar o matrice triunghiulară inferioară este o matrice pătrată ale cărei elemente situate deasupra diagonalei principale sunt nule.
O matrice triunghiulară este inversabilă dacă și numai dacă toate elementele de pe diagonala principală sunt nenule. În acest caz, inversa există și este tot o matrice triunghiulară de același tip.
Astfel, inversa unei matrici triunghiular superioară este tot o matrice de același tip, iar inversa unei matrici triunghiular inferioară este tot o matrice de același tip.
Exemplu. Considerăm matricea triunghiulară superioară
Aplicând metoda Gauss–Jordan sau rezolvând ecuația matricială , se obține:
Se observă că toate elementele situate sub diagonala principală rămân nule, ceea ce confirmă faptul că inversa este tot o matrice triunghiulară superioară.
În același mod, pentru matricea triunghiulară inferioară:
, inversa este:
, care este, la rândul ei, o matrice triunghiulară inferioară.
Aceste proprietăți sunt importante atât în teoria matricilor, cât și în metodele numerice bazate pe factorizări de tip LU, unde matricile triunghiulare apar în mod natural și permit rezolvarea eficientă a sistemelor de ecuații liniare.Radu T. Trîmbițaș, Metode directe pentru sisteme de ecuații liniare, Universitatea Babeș-Bolyai, Cluj-Napoca, 2020
Proprietăți fundamentale
Operația de inversare a matricilor prezintă o serie de proprietăți importante, utilizate frecvent atât în demonstrațiile teoretice, cât și în calculul matricial. Dacă și sunt matrici inversabile de același ordin, atunci au loc relațiile:
Prima relație arată că inversa unei matrici inversabile este, la rândul ei, inversabilă, iar inversa inversei este matricea inițială. A doua relație arată faptul că inversa unui produs este egală cu produsul inverselor luate în ordine inversă. Ultima relație arată că operațiile de transpunere și inversare sunt compatibile, astfel încât transpusa inversei unei matrici coincide cu inversa transpusei sale.
Din proprietatea rezultă că, în general, .
Legătura cu sistemele de ecuații liniare
Una dintre cele mai importante aplicații ale inversei unei matrice este rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Orice sistem liniar cu ecuații și necunoscute poate fi scris în formă matricială sub forma:
, unde este matricea coeficienților, este vectorul necunoscutelor, iar este vectorul termenilor liberi.Universitatea Babeș-Bolyai, Facultatea de Matematică și Informatică, Matrici și sisteme de ecuații liniare - curs