În teoria numerelor, marea teoremă a lui Fermat (numită uneori conjectura lui Fermat, mai ales în textele mai vechi) afirmă că nu există numere întregi pozitive , cu , astfel încât . Se știe încă din Antichitate că pentru cazurile și există o infinitate de soluții.
Propoziția a fost enunțată pentru prima dată ca teoremă de Pierre de Fermat, în jurul anului 1637, pe marginea unui exemplar al lucrării Arithmetica. Fermat a adăugat că avea o demonstrație prea amplă pentru a încăpea pe marginea paginii. Deși alte afirmații făcute de Fermat fără demonstrație au fost demonstrate ulterior de alții și i-au fost atribuite ca teoreme (de exemplu, teorema celor două pătrate a lui Fermat), marea teoremă a lui Fermat a rămas nedemonstrată, ceea ce a generat îndoieli că Fermat ar fi avut vreodată o demonstrație corectă. Prin urmare, propoziția a ajuns să fie cunoscută drept conjectură, nu drept teoremă. După 358 de ani de eforturi ale matematicienilor, prima demonstrație reușită a fost făcută publică în 1994 de Andrew Wiles și publicată oficial în 1995. În motivația acordării Premiului Abel lui Wiles, în 2016, aceasta a fost descrisă drept un „progres uluitor”. Demonstrația a stabilit totodată o mare parte a conjecturii Taniyama–Shimura, cunoscută ulterior drept teorema de modularitate, și a deschis direcții complet noi de abordare pentru numeroase alte probleme, precum și tehnici matematice puternice de ridicare a modularității.
Problema nerezolvată a stimulat dezvoltarea teoriei algebrice a numerelor în secolele al XIX-lea și al XX-lea. Prin influența sa atât în matematică, cât și în cultura generală, se numără printre cele mai cunoscute teoreme din istoria matematicii.
Prezentare generală Origini pitagoreice Ecuația pitagoreică, , are o infinitate de soluții în numere întregi pozitive pentru , și ; aceste soluții sunt cunoscute drept triplete pitagoreice (cel mai simplu exemplu fiind 3, 4, 5). În jurul anului 1675, Fermat a scris pe marginea unei cărți că ecuația mai generală nu are soluții în numere întregi pozitive dacă este un număr întreg mai mare decât 2. Deși a susținut că avea o demonstrație generală a conjecturii sale, Fermat nu a lăsat niciun detaliu al acesteia și nicio asemenea demonstrație nu a fost găsită vreodată. Afirmația sa a fost descoperită la aproximativ 30 de ani după moartea lui. Cunoscută ulterior drept marea teoremă a lui Fermat, afirmația a rămas nerezolvată timp de trei secole și jumătate și a fost soluționată cu ajutorul unor noțiuni matematice pe care Fermat nu le-ar fi putut cunoaște.
Afirmația a devenit în cele din urmă una dintre cele mai cunoscute probleme nerezolvate ale matematicii. Încercările de a o demonstra au impulsionat considerabil dezvoltarea teoriei numerelor, iar cu timpul marea teoremă a lui Fermat a dobândit notorietate ca problemă nerezolvată a matematicii.
Dezvoltări ulterioare și soluția Cazul particular , demonstrat chiar de Fermat, este suficient pentru a stabili că, dacă teorema este falsă pentru un exponent care nu este prim, atunci trebuie să fie falsă și pentru un mai mic; prin urmare, trebuie cercetate în continuare numai valorile prime ale lui .Dacă exponentul nu ar fi prim sau egal cu 4, atunci s-ar putea scrie fie ca produs al două numere întregi mai mici (), unde este un număr prim mai mare decât 2, caz în care pentru fiecare dintre , și . Cu alte cuvinte, ar trebui să existe o soluție echivalentă și pentru exponentul prim , care este mai mic decât . Fie ar fi o putere a lui 2 mai mare decât 4; scriind , se aplică același argument. În următoarele două secole (1637–1839), conjectura a fost demonstrată numai pentru numerele prime 3, 5 și 7, deși Sophie Germain a elaborat și a demonstrat o metodă aplicabilă unei clase întregi de numere prime. La mijlocul secolului al XIX-lea, Ernst Kummer a extins această metodă și a demonstrat teorema pentru toate numerele prime regulate, rămânând ca numerele prime neregulate să fie analizate individual. Pornind de la lucrările lui Kummer și folosind calcule sofisticate efectuate pe calculator, alți matematicieni au reușit să extindă demonstrația la toți exponenții primi de până la patru milioane, însă, cu cunoștințele vremii, o demonstrație pentru toți exponenții era considerată extrem de dificilă sau chiar imposibil de obținut.
În jurul anului 1955, matematicienii japonezi Goro Shimura și Yutaka Taniyama au bănuit că ar putea exista o legătură între curbele eliptice și formele modulare, două domenii complet diferite ale matematicii. Cunoscută la acea vreme drept conjectura Taniyama–Shimura, afirmația nu avea nicio legătură aparentă cu marea teoremă a lui Fermat. Era considerată importantă prin ea însăși, dar, asemenea teoremei lui Fermat, era privită ca fiind cu totul inaccesibilă unei demonstrații.
În 1984, Gerhard Frey a observat o legătură aparentă între aceste două probleme până atunci fără legătură și nerezolvate și a schițat o cale prin care aceasta ar putea fi demonstrată. Demonstrația completă a legăturii strânse dintre cele două probleme a fost realizată în 1986 de Ken Ribet, pornind de la o demonstrație parțială a lui Jean-Pierre Serre, care stabilise toate componentele în afară de una, cunoscută drept „conjectura epsilon” (a se vedea: Teorema lui Ribet și Curba Frey). Lucrările lui Frey, Serre și Ribet au arătat că, dacă s-ar putea demonstra conjectura Taniyama–Shimura cel puțin pentru clasa curbelor eliptice semistabile, atunci ar rezulta automat și o demonstrație a marii teoreme a lui Fermat. Legătura este descrisă mai jos: orice soluție care ar contrazice marea teoremă a lui Fermat ar putea fi folosită și pentru a contrazice conjectura Taniyama–Shimura. Așadar, dacă această conjectură ar fi adevărată, nu ar putea exista nicio soluție care să contrazică marea teoremă a lui Fermat, ceea ce înseamnă că și aceasta din urmă trebuie să fie adevărată.
Deși ambele probleme erau redutabile și, la acea vreme, erau în general considerate „cu totul inaccesibile” unei demonstrații, aceasta a fost prima indicație a unei căi prin care marea teoremă a lui Fermat putea fi extinsă și demonstrată pentru toate numerele, nu doar pentru unele dintre ele. Spre deosebire de marea teoremă a lui Fermat, conjectura Taniyama–Shimura constituia un domeniu important și activ de cercetare și era socotită mai accesibilă matematicii contemporane. citează reacția lui Wiles la această veste: „Am fost electrizat. Am știut în acel moment că drumul vieții mele se schimba, deoarece aceasta însemna că, pentru a demonstra marea teoremă a lui Fermat, nu trebuia decât să demonstrez conjectura Taniyama–Shimura. Însemna că visul copilăriei mele devenise acum un subiect de cercetare respectabil.” Cu toate acestea, opinia generală era că legătura nu făcea decât să evidențieze cât de impracticabilă era demonstrarea conjecturii Taniyama–Shimura. Reacția citată a matematicianului John Coates era reprezentativă:
Aflând că Ribet demonstrase corectitudinea legăturii propuse de Frey, matematicianul englez Andrew Wiles, fascinat încă din copilărie de marea teoremă a lui Fermat și cu experiență în studiul curbelor eliptice și al domeniilor conexe, a hotărât să încerce să demonstreze conjectura Taniyama–Shimura ca mijloc de a demonstra marea teoremă a lui Fermat. În 1993, după șase ani în care lucrase în secret la problemă, Wiles a reușit să demonstreze o parte suficient de amplă a conjecturii pentru a demonstra marea teoremă a lui Fermat. Articolul lui Wiles avea dimensiuni și un domeniu de aplicare vaste. În timpul evaluării colegiale a fost descoperită o lacună într-o parte a versiunii inițiale, iar remedierea ei a necesitat încă un an de muncă și colaborarea cu un fost student, Richard Taylor. Ca urmare, demonstrația finală din 1995 a fost însoțită de un articol comun mai scurt, care arăta că etapele corectate erau valide. Realizarea lui Wiles a fost relatată pe larg în presa generalistă și popularizată în cărți și emisiuni de televiziune. Părțile rămase ale conjecturii Taniyama–Shimura–Weil, în prezent demonstrată și cunoscută drept teorema de modularitate, au fost stabilite ulterior de alți matematicieni, care au continuat munca lui Wiles între 1996 și 2001. Pentru demonstrația sa, Wiles a fost distins cu numeroase premii, printre care Premiul Abel în 2016.
Enunțuri echivalente ale teoremei Există mai multe moduri alternative de a enunța marea teoremă a lui Fermat, echivalente din punct de vedere matematic cu formularea inițială a problemei.
Pentru a le enunța, folosim următoarele notații: fie mulțimea numerelor naturale , fie mulțimea numerelor întregi și fie mulțimea numerelor raționale , unde și aparțin lui , iar . În cele ce urmează, vom numi soluție trivială a ecuației orice soluție pentru care cel puțin unul dintre , sau este zero. O soluție în care toate cele trei valori sunt nenule va fi numită soluție netrivială.
Pentru comparație, începem cu formularea inițială. Enunțul inițial. Pentru (adică sunt toate numere întregi pozitive) și , ecuația nu are soluții.
Cele mai multe prezentări destinate publicului larg enunță teorema în acest mod, deși uneori ea este formulată peste : Enunțul echivalent 1: , unde , nu are soluții netriviale .
Echivalența este evidentă dacă este par. Dacă este impar și toate cele trei numere sunt negative, atunci le putem înlocui cu pentru a obține o soluție în . Dacă două dintre ele sunt negative, acestea trebuie să fie fie și , fie și . Dacă sunt negative, iar este pozitiv, putem rearanja ecuația pentru a obține , rezultând o soluție în ; celălalt caz se tratează analog. Dacă un singur număr este negativ, acesta trebuie să fie sau . Dacă este negativ, iar și sunt pozitive, ecuația poate fi rearanjată sub forma , rezultând din nou o soluție în ; dacă este negativ, rezultatul urmează prin simetrie. Astfel, în toate cazurile, o soluție netrivială în ar implica existența unei soluții în , adică în formularea inițială a problemei. Enunțul echivalent 2: , unde este întreg, nu are soluții netriviale .
Motivul este că exponenții lui și sunt egali (cu ); așadar, dacă există o soluție în , ecuația poate fi înmulțită cu un numitor comun potrivit pentru a obține o soluție în , deci și în . Enunțul echivalent 3: , unde este întreg, nu are soluții netriviale .
O soluție netrivială , , ∈ a ecuației produce soluția netrivială , ∈ pentru . Invers, o soluție , ∈ a ecuației produce soluția netrivială pentru .
Această ultimă formulare este deosebit de fructuoasă, deoarece reduce problema de la una despre suprafețe tridimensionale la una despre curbe bidimensionale. În plus, permite lucrul peste corpul , în locul inelului ; corpurile au mai multă structură decât inelele, ceea ce permite o analiză mai profundă a elementelor lor.
Enunțul echivalent 4 – reducerea la exponenți primi: Dacă sau este un număr prim impar, atunci nu are soluții netriviale Cazul a fost deja demonstrat de Fermat și, prin urmare, ar putea fi omis.
Orice număr întreg pozitiv mai mare decât 2 poate fi scris sub forma , unde fie , fie este un număr prim impar (eventual ). Echivalența rezultă din egalitatea Prin urmare, orice soluție pentru exponentul , dacă există, furnizează o soluție pentru exponentul .
Enunțul echivalent 5 – legătura cu curbele eliptice: Dacă , , este o soluție netrivială a ecuației , unde este un număr prim impar, atunci (curba Frey) este o curbă eliptică fără formă modulară.
Examinarea acestei curbe eliptice cu ajutorul teoremei lui Ribet arată că ea nu are o formă modulară. Pe de altă parte, demonstrația lui Andrew Wiles arată că orice ecuație de forma are o formă modulară. Prin urmare, orice soluție netrivială a ecuației (cu număr prim impar) ar produce o contradicție, ceea ce demonstrează că nu există soluții netriviale.