thumb|right|300px|Un sistem polar, cu unghiuri exprimate în grade În matematică, sistemul de coordonate polare este un sistem de coordonate bidimensional în care fiecărui punct din plan i se asociază un unghi și o distanță. Sistemul coordonatelor polare este util mai ales în situații în care relația dintre două puncte este mai ușor de exprimat în funcție de distanțe și direcții (unghiuri); în sistemul cartezian sau ortogonal, o astfel de relație poate fi găsită doar cu ajutorul formulelor trigonometrice.
Deoarece sistemul de coordonate este bidimensional, fiecare punct este determinat de două coordonate polare: coordonata radială și coordonata unghiulară. Coordonata radială (notată de obicei cu ) reprezintă distanța unui punct față de un punct central, numit pol (echivalent cu originea din sistemul cartezian). Coordonata unghiulară (cunoscută și sub numele de unghi polar, sau azimut, și notată cu sau ) reprezintă unghiul, în sens trigonometric sau invers orar (invers acelor de ceasornic) necesar pentru a ajunge la el de la direcția de 0°, numită axa polară (echivalentă cu axa absciselor din coordonatele carteziene plane).
Istoric Conceptele de unghi și rază erau deja folosite de popoarele antice din primul mileniu î.e.n.. Astronomul grec Hipparchus (190–120 î.e.n.) este creatorul unei tabele de funcții care dădeau lungimea unui arc pentru fiecare unghi, și există unele referințe despre utilizarea de către el a coordonatelor polare pentru stabilirea poziției stelelor. În Despre spirale, Arhimede descrie spirala lui Arhimede, o funcție a cărei rază depinde de unghi. Lucrările grecești, însă, nu s-au extins la un întreg sistem de coordonate.
Începând cu secolul al VIII-lea e.n., astronomii au dezvoltat metode de aproximare și calcul al direcției către Mecca (qibla)—și a distanței până acolo—din orice loc de pe Pământ. Prin secolul al IX-lea începeau să folosească metode de trigonometrie sferică și proiecție cartografică pentru a determina cu precizie aceste valori. Calculul era în esență o transformare a ale Meccăi (adică longitudinea și latitudinea) în coordonate polare (adică qibla și distanța) relative la un sistem al cărui meridian de referință era marele cerc ce trecea prin locația dată și prin polii Pământului și a cărui axă polară este linia ce trece prin locația respectivă și prin punctul său antipodal.King (2005, p. 169). Calculele erau atât de precise cât se putea în condițiile limitărilor impuse de presupunerea că Pământul este o sferă perfectă.
Există mai multe relatări despre introducerea coordonatelor polare ca parte dintr-un sistem oficial. Întreaga istorie este descrisă de profesorul de la Universitatea Harvard în lucrarea sa Originea coordonatelor polare. Grégoire de Saint-Vincent și Bonaventura Cavalieri au introdus independent unul de altul aceste concepte la jumătatea secolului al XVII-lea. Saint-Vincent scria despre ele în particular în 1625 și își publică lucrarea în 1647, iar Cavalieri în 1635, cu o versiune corectată apărută în 1653. Cavalieri a utilizat primul coordonatele polare pentru a rezolva o problemă legată de aria din interiorul unei spirale a lui Arhimede. Ulterior, Blaise Pascal a utilizat coordonate polare pentru calculul arcelor parabolice.
Sir Isaac Newton a examinat și el transformările în coordonate polare, pe care le-a denumit "Al șaptelea mod; pentru spirale", și nouă alte sisteme de coordonate. Într-un articol din periodicul Acta Eruditorum (1691), Jakob Bernoulli folosea un sistem cu un punct pe o linie, numite pol, respectiv axă polară. Coordonatele erau specificate prin distanța de la pol și unghiul față de axa polară. Lucrarea lui Bernoulli se ocupă de găsirea razei de curbură a curbelor exprimate în aceste coordonate.
Termenul efectiv coordonate polare îi este atribuit lui Gregorio Fontana și era utilizat de scriitorii italieni ai secolului al XVIII-lea. Alexis Clairaut a fost primul care s-a gândit la o generalizare a coordonatelor polare în trei dimensiuni, iar Leonhard Euler a fost primul care le-a dezvoltat.
Trasarea punctelor în coordonate polare
thumb|250px|Punctele de coordonate (3,60°) și (4,210°) Fiecare punct din sistemul de coordonate polare poate fi descris folosind două coordonate polare, numite uzual (coordonata radială) și (coordonata unghiulară, unghiul polar, sau azimutul, uneori reprezentat ca sau ). Coordonata reprezintă distanța radială de pol, și coordonata reprezintă unghiul în sens trigonometric (invers acelor de ceasornic) de la direcția de 0° (numită uneori axă polară), cunoscută ca axa pozitivă a absciselor în sistemul coordonatelor carteziene plane.
De exemplu, coordonatele polare (3, 60°) ar fi reprezentate în plan ca un punct aflat la 3 unități depărtare de pol pe direcția de 60°. Coordonatele (−3, 240°) ar fi reprezentate prin același punct deoarece o distanță radială negativă este măsurată ca o distanță pozitivă pe aceeași direcție în sens opus (direcția reflectată față de origine, care diferă de direcția originară cu 180°).
Aceasta ilustrează un aspect important al sistemului de coordonate polare, aspect care lipsește la cel cartezian: un singur punct poate fi exprimat printr-o infinitate de coordonate diferite. În general, punctul poate fi reprezentat ca sau ca , unde este orice număr întreg. Coordonatele arbitrare sunt utilizate prin convenție pentru reprezentarea polului, pentru că indiferent de coordonata , un punct de rază 0 va fi mereu în pol. Pentru a obține o reprezentare unică a unui punct, este uzual a limita la numere nenegative și pe la intervalul [0, 360°) sau (−180°, 180°] (sau, în radiani, sau ).
Unghiurile în notație polară sunt în general exprimate fie în grade, fie în radiani, utilizând conversia . Alegerea depinde de context. Aplicațiile nautice folosesc gradele, în timp ce unele aplicații din fizică (mai ales mecanica rotației) și aproape toată literatura matematică legată de analiza matematică folosesc radiani.
Conversia între coordonate polare și coordonate carteziene
right|thumb|250px|O diagramă care ilustrează formulele de conversie Cele două coordonate polare și pot fi convertite în coordonate carteziene și prin utilizarea funcțiilor trigonometrice sinus și cosinus:
de asemenea, se pot exprima formulele de conversie pentru și înapoi în coordonate carteziene:
Ambele formule sunt valabile pentru orice și , adică . Rezultatul se poate deduce direct din formulele și prezenatate mai sus.
În plus, cele două coordonate carteziene și pot fi transformate în coordonata polară prin (prin aplicarea teoremei lui Pitagora).
Pentru a determina coordonata polară , trebuie să fie luate în considerare următoarele două aspecte: Pentru , poate fi orice număr real. Pentru , pentru a obține o unică reprezentare a lui , aceasta trebuie limitată la un interval de lungime . Alegeri convenționale pentru acest interval sunt și .
Pentru a obține în intervalul , se poate folosi următoarea expresie ( reprezintă inversa funcției tangentă):
Pentru a obține în intervalul , se poate folosi următoarea expresie:
Ecuații polare
Ecuațiile care definesc o curbă algebrică exprimată în coordonate polare este o ecuație polară. În multe cazuri, o astfel de ecuație poate fi specificată doar prin definirea ca funcție de θ. Curba rezultată constă atunci din punctele de forma și poate fi privită ca graficul funcției polare .
Diferite forme de simetrie pot fi deduse din ecuația unei funcții polare . Dacă , curba va fi simetrică față de direcția orizontală (0°/180°); dacă , ea va fi simetrică față de verticală (90°/270°); iar dacă ea va avea simetrie radială de în sens trigonometric în jurul polului.
Deoarece natura circulară a sistemului coordonatelor polare, multe curbe pot fi descrise de o ecuație polară relativ simplă, pe când forma lor carteziană e mult mai complicată. Printre cele mai cunoscute astfel de curbe este roza polară, spirala lui Arhimede, lemniscata lui Bernoulli, melcul lui Pascal, și cardioida.
Cercul thumb|right|Un cerc de ecuație (θ) = 1 Ecuația generală a unui cerc cu centrul în și de rază este
Aceasta poate fi simplificată în numeroase feluri, pentru a se conforma unor cazuri particulare, cum ar fi ecuația
pentru un cerc cu centrul în pol și de rază .
Dreapta
Dreptele radiale (cele care trec prin pol) sunt reprezentate de ecuația ,
unde φ este unghiul de înclinație a dreptei; adică, unde este panta dreptei în coordonate carteziene. Dreapta neradială perpendiculară pe dreapta radială în punctul are ecuația
Roza polară
thumb|right|O roză polară de ecuație Roza polară este o curbă matematică celebră care arată ca o floare cu petale și care poate fi exprimată ca o ecuație polară simplă,
pentru orice constantă (inclusiv 0). Dacă este întreg, această ecuație produce o roză cu n petale, dacă n este impar, sau cu petale dacă este par. Dacă n este rațional dar nu întreg, o formă asemănătoare cu roza ar putea apărea, dar va avea petale suprapuse. Dacă este irațional, curba formează un disc deoarece fiecare punct din planul de coordonate cu va satisface ecuația pentru o oarecare valoare a lui . Se observă că aceste ecuații nu definesc niciodată o roză cu 2, 6, 10, 14, etc. petale. Variabila reprezintă lungimea petalelor rozei.
Spirala lui Arhimede
thumb|right|Un braț al spiralei lui Arhimede de ecuație pentru Spirala lui Arhimede este o spirală celebră descoperită de Arhimede, spirală ce poate fi exprimată sub forma unei ecuații polare simple. Ea este reprezentată de ecuația:
Schimbarea parametrului va roti spirala, pe când controlează distanța dintre brațe, care pentru o spirală dată este mereu constantă. Spirala lui Arhimede are două brațe, unul pentru θ > 0 și unul pentru θ < 0. Cele două brațe sunt conectate la origine și spirala este derivabilă în acel punct. Luând imaginea în oglindă a unui braț al său peste linia de la 90°/270° se obține un alt braț. Această curbă este notabilă ca una din primele curbe, după secțiunile conice, care a fost descrisă într-un tratat matematic, și ca prim exemplu de curbă mai bine definită sub formă de ecuație polară.
Secțiuni conice
thumb|right|Elipsă O secțiune conică cu un focar în origine și celălalt undeva pe semidreapta de 0° (astfel încât axa majoră este în lungul axei polare) este dată de:
unde este excentricitatea și distanța perpendiculară la focar de la axa majoră la curbă. Dacă , această ecuație definește o hiperbolă; dacă , ea definește o parabolă; iar dacă e < 1, definește o elipsă. Cazul special are ca rezultat un cerc de rază .
Numere complexe
thumb|right|Ilustrarea unui număr complex în planul complex Toate numerele complexe pot fi reprezentate ca un punct în planul complex, și pot astfel să fie exprimate specificând fie coordonatele carteziene ale punctului, fie pe cele polare (numite formă polară). Numărul complex poate fi reprezentat în formă carteziană ca
unde i este unitatea imaginară, sau poate fi scris în formă polară (trigonometrică)
și de aici ca
unde este numărul lui Euler. Acestea sunt echivalente conform formulei lui Euler. (Această formulă, ca orice formulă care implică exponențialele unor unghiuri, presupune că este exprimat în radiani.)
thumb|right|Reprezentarea grafică a numerelor complexe de modul unitar pe cercul unitate
Formula lui Euler, evidențiată prima dată de Roger Cotes în formă logaritmică, face conversia între forma carteziană și cea polară a unui număr complex.
Pentru operațiile de înmulțire, împărțire, și exponențiere de numere complexe, este în general mai simplu de lucrat cu numere complexe exprimate în formă polară decât în formă carteziană prin proprietățile exponențierii:
Înmulțire:
Împărțire:
Exponențiere (Formula lui de Moivre):
Analiza matematică
Se poate aplica analiză matematică pe ecuațiile exprimate în coordonate polare.
Coordonata unghiulară θ este exprimată în radiani, alegere standard în analiza matematică.
Calcul diferențial Sunt valabile formulele: