thumb|Pătrat magic 3 × 3 În matematică, un pătrat magic de ordinul n este o aranjare de n² numere într-un pătrat, în așa fel încât toate numerele n din aceeași coloană, rând sau diagonală să dea adunate aceeași constantă. Un pătrat magic normal conține întregii de la 1 la n²
Pătrate magice exista pentru toate ordinele n ≥ 1 în afară de n = 2, deși cazul de ordine n = 1 este trivial - constă dintr-o singură celulă conținând numărul 1. Cel mai mic caz netrivial, arătat alături, este de ordinul 3.
Introducere Fie progresia aritmetică 1, 2, 3, 4, ... 36 (pătrat de ordinul 6) și dispunerea numerelor pe două rânduri în zigzag:
{| align="left" width="500px;" |----- align="center" | bgcolor="#ccffff" | 1 || bgcolor="#ccffff" | 2 | bgcolor="#ccffff" | 3 | bgcolor="#ccffff" | 4 || bgcolor="#ccffff" | 5 | bgcolor="#ccffff" | 6 | bgcolor="#99ffff" | 7 || bgcolor="#99ffff" | 8 | bgcolor="#99ffff" | 9 | bgcolor="#99ffff" | 10 || bgcolor="#99ffff" | 11 | bgcolor="#99ffff" | 12 | bgcolor="#66ccff" | 13 || bgcolor="#66ccff" | 14 | bgcolor="#66ccff" | 15 | bgcolor="#66ccff" | 16 || bgcolor="#66ccff" | 17 | bgcolor="#66ccff" | 18 |----- align="center" | bgcolor="#ccffff" | 36 || bgcolor="#ccffff" | 35 | bgcolor="#ccffff" | 34 | bgcolor="#ccffff" | 33 || bgcolor="#ccffff" | 32 | bgcolor="#ccffff" | 31 | bgcolor="#99ffff" | 30 || bgcolor="#99ffff" | 29 | bgcolor="#99ffff" | 28 | bgcolor="#99ffff" | 27 || bgcolor="#99ffff" | 26 | bgcolor="#99ffff" | 25 | bgcolor="#66ccff" | 24 || bgcolor="#66ccff" | 23 | bgcolor="#66ccff" | 22 | bgcolor="#66ccff" | 21 || bgcolor="#66ccff" | 20 | bgcolor="#66ccff" | 19
Aceasta rezultă în faptul că orice pereche de numere aliniate vertical dă aceeași sumă, știind că la deplasarea înainte în coloane numerele de sus cresc cu o unitate, pe când cele de jos scad. Suma în toate cazurile este aceea a extremelor:
Dacă se aranjează ansamblul numerelor în șase rânduri:
{| align="left" width="166px;" style="text-align:center;" |----- bgcolor="#ccffff" | 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 |----- bgcolor="#99ffff" | 12 || 11 || 10 || 9 || 8 || 7 |----- bgcolor="#66ccff" | 13 || 14 || 15 || 16 || 17 || 18 |----- bgcolor="#66ccff" | 24 || 23 || 22 || 21 || 20 || 19 |----- bgcolor="#99ffff" | 25 || 26 || 27 || 28 || 29 || 30 |----- bgcolor="#ccffff" | 36 || 35 || 34 || 33 || 32 || 31
suma în diferitele coloane este necesar egală, fiindcă numerele sunt grupate în perechi ca și în primul caz (se pot compara perechile de rânduri 1-6, 2-5 și 3-4 cu dispunerea originală). Acum oarecum, cele trei perechi de coloane fiind (n/2), suma va fi:
ceea ce se numește constanta magică, care în cazul de față este de n×(n² + 1)/2 = 6×(36 + 1)/2 = 111.
Ordinul n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 M 2(n) 15 34 65 111 175 260 369 505 671 870 1105
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
Se vede că pătratul precedent nu este un pătrat magic, pentru că aranjând numerele de manieră consecutivă, sumele cifrelor din fiecare rând cresc de fiecare dată. Există șase serii de numere între 1 și 36, a căror sumă, fără să se repete niciunul, este constanta magică. Dacă în loc de dispunerea precedentă se plasează numerele în ordine consecutivă, se obține o dispunere în care numerele din diagonala principală pot fi scrise sub forma (a-1)×n + a.
Calculând suma, rândurile a merg de la 1 la n:
Din nou constanta magică. Mai mult, orice serie de șase valori în care nu sunt două din același rând sau din aceeași coloană prin adunare va da constanta magică. Scriind termenul i, j al matricei ca (i-1)×n + j și luând șase termeni oarecare cu condiția ca nici i, nici j să nu se repete, și să varieze de la 1 la n, ecuația rezultată este aceeași ca și în cazul anterior, iar suma la fel, adică constanta magică.
Cum se și poate demonstra, numărul de serii posibile de n numere care îndeplinesc condiția anterioară este n!, 720 în pătrate de ordinul 6, și nici chiar toate sunt posibile, fiind dat că s-au obținut șase care nu sunt incluse printre ele. Prin definiție, fiind posibil să se construiască (n²)! matrice în care nici un termen să nu se repete și în care să existe cel puțin n! (de fapt mult mai multe) combinații de numere care prin adunare dau constanta magică, se înțelege intuitiv că ceea ce ar fi magic despre pătrat este că, având atâtea posibilități, să fie imposibil să se construiască un pătrat magic.
De ordinul 3 există doar un pătrat magic (variațiile diferite se pot obține prin rotație sau oglindire), în 1693 Bernard Frénicle de Bessy a stabilit că există 880 pătrate magice de ordinul 4Magische Quadrate, artype.de, accesat 1 decembrie 2021, ulterior se găsiseră 275.305.334 de pătrate magice de ordinul 5; numărul de pătrate magice de ordin mai mare este necunoscut, dar după estimările lui Klaus Pinn și ale lui C. Wieczerkowski realizate în 1998 cu ajutorul metodelor Monte Carlo și ale mecanicii statistice există (1,7745 ± 0,0016) × 1019 pătrate de ordinul 6 și (3,7982 ± 0,0004) × 1034 de ordinul 7.
În ceea ce privește ordinele inferioare, este evident că de ordinul unu există numai un pătrat magic, 1 , iar de ordinul 2 nu există niciunul, ceea ce poate fi demonstrat în figura pătratului magic a, b, c, d; pentru ca această dispoziție să fie un pătrat magic ar fi trebuit să se îndeplinească următoarele ecuații (M fiind constanta magică sau orice altă cantitate, dacă este dorită):
a b c da + b = M a + c = M a + d = M b + c = M b + d = M c + d = M scriind sistemul de ecuații de manieră matricială și determinând rangul matricei de coeficienți, se obține că este trei, pe când numărul de necunocute este patru, ca urmare sistemul are doar soluția trivială a = b = c = d = M/2, fiind imposibil să se construiască un pătrat magic în care cele patru cifre să fie distincte.
Istorie thumb|The Astronomical Phenomena (Tien Yuan Fa Wei).Compilat prin Bao Yunlong în secolul al XIII-lea, ediția Dinastiei Ming, 1457-1463. Biblioteca Congresului SUA.
3 9 2 3 40 7 8 1 30
În China antică, se cunoșteau pătratele magice încă din Mileniul al III-lea î.Hr., după cum atestă Lo Shu. După legendă, într-o bună zi se revărsă un râu; oamenii, înfricoșați, încercară să aducă o ofrandă zeilor râului Lo (unul dintre cele revărsate) pentru a-i calma furia. Totuși, de fiecare dată când făceau aceasta, apărea o broască țestoasă care încercuia ofrandele fără să le accepte, până când un băiat își dădu seama de marcajele speciale de pe carapacea ei și așa putură să ofere cantitatea cerută (15), și să mulțumească zeul, care readuse apele la nivelul lor. Au cunoscut și combinații de această clasă indienii, arabii, egiptenii și grecii. La pătrate asemănătoare, diferitele culturi au atribuit proprietăți astrologice și divinatorii variate, fiind de numeroase ori marcate în talismane. Așa cum reia Cornelius Agrippa în Despre filozofia ocultă III (1533), pătratul de ordinul trei(15) era consacrat zeului Saturn, cel de patru(34) lui Jupiter, cel de cinci(65) lui Marte, cel de șase(111) Soare, cel de șapte(175) lui Venus, cel de opt(260) lui Mercur și cel de nouă(369)Lunei; o atribuție similară se poate găsi în astrologia hindusă.
Introducerea pătratelor magice în occident se poate atribui lui Emanuel Moschopoulos, în jurul secolului al XVI-lea, autorul unui manuscris în care pentru prima oară au fost explicate câteva metode pentru a le construi. Mai târziu, studiul proprietăților acestor pătrate a atras atenția unor mari matematicieni, care au dedicat subiectului câteva opere chiar cu toată inutilitatea practică a pătratelor magice. Printre ei se pot cita Stifel, Fermat, Pascal, Leibnitz, Frénicle de Bessy, Bachet de Méziriac, La Hire, Saurin, Euler, ... se poate zice că nici un matematician nu a putut rezista farmecelor pătratului magic.
Pătratul magic al lui Albrecht Dürer thumb|Melancolia, gravură de Albrecht Dürer; Pătratul magic apare în colțul superior la dreapta.
16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 Pătratul magic al lui Albrecht Dürer, sculptat în opera sa Melancolía este considerat primul din artele europene. În pătratul de ordinea patru se obține constanta magică (34) în rânduri, coloane, diagonale principale, și în cele patru submatrici de ordinul (2) în care se poate împărți pătratul, adăugând numerele din colțuri, cele patru numere centrale, numerele centrale ale primelor și ultimelor rânduri (sau coloane) etc. și cifrele centrale ale ultimului rând 1514 fiind anul creației operei.
16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1Câteva dispoziții în pătratul magic al lui Albrecht Dürercare se adună ca să formeze constanta magică.
Pătratul magic de la Sagrada Familia thumb|</div> Fațada Pasiunii a bisericii Sagrada Família în Barcelona, concepută de sculptorul Josep Subirachs arată un pătrat magic de ordinea 4:
Constanta magică a pătratului este 33, vârsta lui Iisus Cristos în timpul Pasiunii. Structural, este forte asemănătoare pătratului magic din Melancolia, dar două numere din pătrat, (12 și 16) sunt reduse cu două unități (10 și 14) iar de aceea apar repetiții. Aceasta permite să se reducă constanta magică cu 1.
Construcția Pătratelor Magice
Sunt numeroase forme de a construi un pătrat magic, dar cele mai simple consistă în a urmări anumite configurații sau formule care produc rezultate regulate. Mai mult, se poate să se impună condiții adiționale pătratului, obținându-se pătrate bimagice, trimagice etc. Prin analogie, se pot construi cercuri, poligoane și cuburi magice.
Nu există o metodă generală pentru a construi pătrate magice de orice ordin, fiind necesar să se facă distincția între cele de ordin impar, cele de ordin multiplu de 4 și restul de ordin par (4×m + 2)
Pătrate magice de ordin impar (I)
Aceste pătrate pot fi generate cu metoda publicată în 1691 de Simon de la Loubere, numită câteodată metoda siameză, metodă cunoscută de astrologii orientali. Începând în căsuța centrală a primului rând cu primul număr, umplem diagonala ruptă cu următoarele, în sens NV (sau NE). Odată umplută prima diagonală, este coborâtă de o poziție și se umple a doua în același sens ca și prima, apoi repetând pașii anteriori până se termină pătratul.
Fișier:Pătrat Magic Impar.png
Evident, se putea începe în orice căsuță centrală a rândurilor sau coloanelor perimetrale, fiind în fiecare caz direcția diagonalelor în afara pătratului și sensul deplasării o dată terminată fiecare diagonală dat prin poziția relativă din centrul pătratului în ceea ce privește căsuța centrală.
Rezultă evident că începând cu orice altă căsuță suma rândurilor și a coloanelor va fi constanta magică, dat fiind că poziția relativă a cifrelor va fi aceeași ca și în cazul anterior; totuși, în paralela diagonală a direcției umplute nu se confirmă aceste condiție (confirmată în cealaltă). De fapt, alegerea inițială particulară a căsuței inițiale răspunde necesității ca în diagonala paralelă direcției care trebuie umplută cele cinci numere centrale ale seriei să fie plasate consecutiv dat fiind că orice alte cinci numere consecutive nu se vor aduna la constanta magică.
Pătrate magice de ordin impar (II) 251837 Pasul întâi: Se scriu numerele de la 1 la n². Se scrie 1 în căsuța superioară a rombului și se urmează în formă oblică ca și în exemplul de mai jos. Pătratul magic va fi unul înscris în rombul format. 1 6 2 11 7 3 16 12 8 4 21 17 13 9 5 22 18 14 10 23 19 15 24 20 25 Pasul al doilea: Transferăm numerele din colțurile rombului în căsuțele goale în partea opusă a rombului.
1 6 2 11 24 7 20 3 16 4 12 25 8 16 4 21 17 5 13 21 9 5 22 10 18 1 14 22 10 23 6 19 2 15 24 20 25 Pasul al treilea: Scoatem colțurile rombului: acum avem un pătrat magic de ordin impar.