Число Цайзеля — это свободное от квадратов число , имеющее не менее трёх простых делителей, для которых выполняется линейное рекуррентное соотношение:
,
где и — некоторые целые константы, а — индекс простых делителей, упорядоченных по возрастанию. При этом полагают .
Несколько первых чисел Цайзеля: 105, 1419, 1729, 1885, 4505, 5719, 15387, 24211, 25085, 27559, 31929, 54205, 59081, 114985, 207177, 208681, 233569, 287979, 294409, 336611, 353977, 448585, 507579, 982513, 1012121, 1073305, 1242709, 1485609, 2089257, 2263811, 2953711, …
Пример Число 1729 является числом Цайзеля с константами и . Его простые делители — 7, 13 и 19 — удовлетворяют равенствам:
Связь с числами Кармайкла Число 1729 является примером чисел Кармайкла вида . Для таких чисел рекуррентное соотношение принимает вид , что соответствует значениям и . Таким образом, любое число Кармайкла указанного вида является также числом Цайзеля.
Другие числа Кармайкла этого вида: 294409, 56052361, 118901521, 172947529, 216821881, 228842209, 1299963601, 2301745249, 9624742921, …
История Термин «числа Цайзеля» был введён Кевином Брауном, который исследовал числа, дающие простое число при подстановке в выражение . 24 февраля 1994 года Хельмут Цайзель в сообщении в группу новостей sci.math указал, что число 1885 обладает этим свойством. Позднее было обнаружено, что разложение 1885 на простые множители соответствует приведённому выше определению.
Число 1729, известное как число Харди — Рамануджана, также является числом Цайзеля.
Примечания
Ссылки
MathPages article
Категория:Теория чисел Категория:Целочисленные последовательности