Тождество Бохнера — общее название семейства тождеств в римановой геометрии, связывающих лапласианы разных типов и кривизну. Тождества получаемыe интегрированием тождества Бохнера иногда называются тождествами Рейли.
Формулировка Пусть есть расслоение Дирака над римановым многообразием , — соответствующий оператор Дирака, и тогда
для любого сечения .
Обозначения Далее обозначает ортонормированный репер в точке. обозначает связность на , и
так называемый лапласиан по связности. — сечение , определяемое как
где «» обозначает умножение Клиффорда, и
— преобразование кривизны. — оператор Дирака на , то есть
и лапласиан Ходжа на дифференциальных формах
Следствия Из тождества Бохнера для градиента функции получаем следующую интегральную формулу для любого замкнутого многообразия , где обозначает гессиан . Если — гармоническая функция, то , где обозначает градиент . В частности: Компактные многообразия с положительной кривизной Риччи не допускают ненулевых гармонических функций. Если — гармоническая функция на многообразии с положительной кривизной Риччи, то функция субгармоническая. Из формулы Бохнера следует, что на компактных многообразиях с положительным оператором кривизны отсутствуют гармонические формы любой степени, то есть оно является рационально гомологической сферой. Другим методом, а именно потоком Риччи, удалось доказать что любое такое многообразие диффеоморфно фактору сферы по конечной группе.
Примечания
Литература
Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия