Теорема Амицура — Левицкого — утверждение о равенстве нулю стандартного многочлена степени от произвольных матриц порядка . Установлена и доказана и Яковом Левицким в 1950 году. Прямое следствие этого результата — матрицы порядка образуют с минимальной степенью тождеств, равной .
Определения и формулировка Стандартный многочлен степени — это: , где сумма берётся по всем элементам симметрической группы . Здесь означает знак перестановки , при этом не коммутируют.
Теорема Амицура — Левицкого утверждает, что для произвольных матриц порядка стандартный многочлен обращается в нуль: .
Доказательства Амицур и Левицкий дали первое доказательство теоремы в 1950 году.
в 1958 году вывел теорему Амицура — Левицкого из теоремы Козюля — Самельсона о простых когомологиях алгебр Ли.
в 1963 году дал простое комбинаторное доказательство: Ввиду линейности достаточно доказать теорему для случая, когда каждая матрица имеет только один ненулевой элемент, равный 1. В этом случае каждая матрица может быть представлена как направленная дуга графа с вершинами. Все матрицы вместе дают граф с вершинами и направленными дугами. Тождество теоремы равносильно утверждению, что для любых двух вершин и графа число нечётных эйлеровых путей из в равно числу чётныхПути называются чётными или нечётными в зависимости от того, какую перестановку рёбер данный путь порождает — чётную или нечётную.. Сван показал, что при числе рёбер в графе и более число чётных и нечётных путей равно, откуда следует результат теоремы.
Размыслов в 1974 году построил доказательство, опирающееся на теорему Гамильтона — Кэли.
Россет в 1976 году дал короткое доказательство, использующее внешнюю алгебру векторного пространства размерности .
Примечания
Ссылки
А Категория:Матрицы