Оператор Шрёдингера — дифференциальный оператор вида: .
Представляет собой оператор эллиптической сингулярной краевой задачи. Математическая теория операторов Шрёдингера используется в квантовой механике, дифференциальной геометрии (доказательство теоремы Гаусса — Бонне), топологии (в теории Морса при доказательстве неравенства Морса). Допускает многочисленные обобщения. При некоторых условиях на потенциалы и является самосопряжённым оператором со всюду плотной областью определения в пространстве квадратично интегрируемых функций . Это свойство равносильно однозначной разрешимости нестационарного уравнения Шрёдингера. Оно очень важно для оснований квантовой механики, поскольку лишь самосопряжённые операторы описывают квантовомеханические наблюдаемые. В квантовой механике оператор Шрёдингера представляет собой оператор энергии системы заряженных частиц в координатном представлении. При приближённом описании поведения частицы во внешнем поле или системы двух взаимодействующих частиц оператор Шредингера определён в пространстве квадратично интегрируемых функций и имеет вид: , где — вектор трёхмерного пространства.
Одномерный оператор Шрёдингера Одномерный оператор Шрёдингера имеет вид: , где — вектор одномерного пространства. В случае бесконечно растущего потенциала при его спектр является дискретным, однократным. В случае гармонического осциллятора — . Собственные значения и собственные функции , где , — полиномы Эрмита.
Достаточный признак самосопряжённости оператора Шрёдингера Для оператора Шрёдингера для системы частиц, определённого на гладких финитных функциях: , достаточными условиями существенной самосопряжённости являются условия: , , и при условия: , . Область определения замыкания оператора Шрёдингера в этом случае совпадает с областью определения замыкания оператора .
Примечания
Литература
Категория:Квантовая механика Категория:Дифференциальные операторы