Хаусдорфово пространство — топологическое пространство, удовлетворяющее сильной аксиоме отделимости T2.
Названо в честь Феликса Хаусдорфа — одного из основоположников общей топологии. Его первоначальное определение топологического пространства включало в себя требование, которое теперь называется хаусдорфовостью.
Иногда для обозначения структуры хаусдорфового топологического пространства на множестве применяется термин хаусдорфова топология.
Определение
Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если любые две различные точки , из обладают непересекающимися окрестностями , .
Примеры и контрпримеры Хаусдорфовыми являются все метрические пространства и метризуемые пространства, в частности: евклидовы пространства , многообразия, большинство используемых в анализе бесконечномерных функциональных пространств, таких, как или , .
Если топологическая группа является T0-пространством, то она хаусдорфова. Если T0 не выполнено, то факторизация по замыканию нейтрального элемента группы даст хаусдорфово пространство. По этой причине некоторые источники включают хаусдорфовость в определение топологической группы.
Простейший (и важный) пример нехаусдорфова пространства — связное двоеточие, а в более общем случае — алгебры Гейтинга. Не является хаусдорфовой, например, топология Зарисского на алгебраическом многообразии. Нехаусдорфов, вообще говоря, спектр кольца.
Свойства Единственность предела последовательности (в более общем случае — фильтра), если таковой предел существует. Свойство, равносильное определению хаусдорфовости топологии, — замкнутость диагонали в декартовом квадрате пространства . В хаусдорфовом пространстве замкнуты все его точки (то есть одноточечные множества). Подпространство и декартово произведение хаусдорфовых пространств тоже хаусдорфовы. Вообще говоря, хаусдорфовость не передаётся факторпространствам. Компактное хаусдорфово пространство нормально и оно метризуемо тогда и только тогда, когда имеет счётную базу топологии. Любое непрерывное взаимно однозначное отображение компактного пространства в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом. Любое конечное хаусдорфово пространство дискретно.
Примечания
Литература
Категория:Общая топология