Арифметико-геометрическая прогрессия (АГП) — последовательность чисел , задаваемая рекуррентным соотношением , где и — константыСуконник Я. Н. Арифметико-геометрическая прогрессия // Квант. — 1975. — № 1. — С. 36—39.. Частными случаями арифметико-геометрической прогрессии являются арифметическая прогрессия (при ) и геометрическая прогрессия (при ).
Примеры
Стационарная последовательность может быть задана следующим образом: , т. е. . Убывающая последовательность: , т. е. . Возрастающая последовательность: , т. е. .
Формула для общего члена
Рассмотрим исходное соотношение: при
Пусть в этом соотношении и . Прибавив к обеим частям выражение , получаем
Перемножив указанные равенства и сократив одинаковые сомножители (или подставив вместо скобок в правой части левую часть следующего по порядку уравнения), получим явную формулу члена арифметико-геометрической прогрессии:
Свойства
Арифметико-геометрическая прогрессия является возвратной последовательностью второго порядка и задаётся уравнением:
Прогрессия тогда и только тогда стационарна, когда , причём и .
Разность арифметико-геометрической прогрессии определяется по формуле
Последовательность является геометрической прогрессией с тем же знаменателем . Знаменатель находится по формуле:
Следствие 1. Формула, связывающая любые три последовательных члена через разность:
Следствие 2. Формула, связывающая любые три последовательных члена через знаменатель:
Теорема [о связи членов арифметико-геометрической прогрессии с её характеристиками]
Обобщённая теорема
Последовательность частичных сумм членов арифметико-геометрической прогрессии является возвратной последовательностью третьего порядка и задаётся уравнением:
Если последовательность частичных сумм является арифметико-геометрической прогрессией, то сама последовательность является геометрической прогрессией.
Тождество арифметико-геометрической прогрессии
Примечания
Категория:Арифметика Категория:Ряды и последовательности