Распределение Трейси — Видома — статистическое распределение, введённое и Гарольдом Видомом для описания нормированного наибольшего собственного значения случайной эрмитовой матрицыDominici, D. (2008) Special Functions and Orthogonal Polynomials American Math. Soc..
В прикладном отношении, распределение Трейси — Видома — это функция перехода между двумя фазами системы: со слабосвязанными и с сильносвязанными компонентами. Оно также возникает как распределение длины наибольшей увеличивающейся подпоследовательности случайных перестановок, во флуктуациях потока с шаговым начальным условием и в упрощённых математических моделях поведения в задаче о наибольшей общей подпоследовательности случайных вводовСм. в , экспериментальную проверку (и подтверждение) того, что флуктуации поверхности раздела растущей капельки (или основы) описываются распределением Трейси — Видома (или ) так, как это предсказано в ().
Распределение F1 особенно интересно с точки зрения Обсуждение универсальности , , см. в . О приложении F1 к выведению популяционной структуры из генетических данных см. .
Определение Распределение Трейси — Видома определяется как предел
где — наибольшее собственное число случайной матрицы стандартного (для компонентов матрицы ) гауссова ансамбля: при β=1 — ортогонального, при β=2 — унитарного, при β=4 — симплектического. Сдвиг используется, чтобы центрировать распределение в точке 0. Множитель используется, поскольку стандартное отклонение распределения масштабируется как .
Эквивалентные представления Функция распределения Трейси — Видома для унитарных ансамблей () может быть представлена как
оператора на интегрируемой с квадратом функции на луче ядром в понятиях функций Эйри через
Также её можно представить интегралом
через решение II
где , называемое решением Гастингса—Мак-Леода, удовлетворяет граничным условиям:
Другие распределения Трейси — Видома Распределения Трейси — Видома и для ортогональных () и симплектических () ансамблей также выразимы через :
и
Существует расширение этого определения на случаи при всех .
Численные приближения Численные методы получения приближённых решений уравнений Пенлеве II и Пенлеве V и численно определённые распределения собственных значений случайных матриц в бета-ансамблях впервые были представлены в 2005 году (использовался MATLAB). Эти приближённые методы позднее были аналитически уточнены и используются для получения численного анализа Пенлеве II и распределений Трейси — Видома (для ) в S-PLUS. Эти распределения были табулированы до четырёх значащих цифр по значениям аргумента с шагом 0.01; в работе также присутствовала статистическая таблица p-значений. В 2009 году даны точные и быстрые алгоритмы численного определения и функций плотности для . По этим алгоритмам можно численно подсчитать среднее значение, дисперсию, асимметрию и эксцесс распределений .
β Среднее Дисперсия Коэффициентасимметрии Эксцесс 1 −1.2065335745820 1.607781034581 0.29346452408 0.1652429384 2 −1.771086807411 0.8131947928329 0.224084203610 0.09344808764 −2.306884893241 0.5177237207726 0.16550949435 0.0491951565
Функции для работы с законами Трейси — Видома также представлены в пакете для R RMTstat и в пакете для MATLAB RMLabDieng, 2006..
Вычислено также простое приближение на основе смещённых гамма-распределений.
Примечания
Литература
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
Ссылки . . . Quanta Magazine: At the Far Ends of a New Universal Law
Категория:Распределения вероятностей Категория:Специальные функции