Гильбертов кирпич (или гильбертов куб) — топологическое пространство, названное в честь Давида Гильберта, гомеоморфное произведению счётного числа копий отрезков (с топологией произведения).
Определение
Формально гильбертов кирпич — множество точек гильбертова пространства, координаты которых в некотором ортонормированном базисе удовлетворяют соотношениям , где a = {} является точкой гильбертова пространства. Гильбертов кирпич является выпуклой оболочкой множества векторов, у которых некоторая координата равна нулю, либо (вершины гильбертова кирпича).
Свойства По теореме Тихонова гильбертов кирпич компактен. Гильбертов кирпич является метризуемым, так как он гомеоморфен следующему подмножеству гильбертова пространства :
то есть точками гильбертова кирпича являются бесконечные последовательности гильбертова пространства , такие, что . Гильбертов кирпич, вложенный в гильбертово пространство, имеет пустую внутренность, то есть он не содержит непустых открытых подмножеств. Гильбертов кирпич универсален для всех метризуемых компактов и для всех метризуемых сепарабельных пространств. То есть любое компактное (сепарабельное) метрическое пространство гомеоморфно подмножеству гильбертова кирпича.
Примечания
Литература
См. также Единичный куб Тихоновский куб
Категория:Общая топология Категория:Топологические пространства