В этой статье векторы выделены жирным шрифтом, а их абсолютные величины — курсивом, например, .
Ве́ктор Лапла́са — Ру́нге — Ле́нца (вектор Лапласа, вектор Рунге — Ленца и вектор Ленца) — вектор, который используется для описания формы и ориентации орбиты, по которой одно небесное тело обращается вокруг другого (например, орбиты, по которой планета обращается вокруг звезды). В случае с двумя телами, взаимодействие которых описывается законом всемирного тяготения Ньютона, вектор Лапласа — Рунге — Ленца представляет собой интеграл движения, то есть его направление и величина постоянны независимо от точки орбиты, в которой они вычисляются; в сети в электронном виде есть 3-е изд. за 1988 год, см. Добавление 8, на стр. 381; говорят, что вектор Лапласа — Рунге — Ленца сохраняется при гравитационном взаимодействии двух тел. Это утверждение можно обобщить на любую задачу с двумя телами, взаимодействующими посредством центральной силы, которая изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Такая задача называется Кеплеровой задачей.
Например, такой потенциал возникает при рассмотрении классических орбит (без учёта квантования) в задаче о движении отрицательно заряженного электрона в электрическом поле положительно заряженного ядра. Если вектор Лапласа — Рунге — Ленца задан, то форма относительного движения тел может быть получена из простых геометрических соображений, с использованием законов сохранения этого вектора и энергии.
Согласно принципу соответствия, у вектора Лапласа — Рунге — Ленца имеется квантовый аналог, который был использован в первом выводе спектра атома водорода ещё до открытия уравнения Шрёдингера.
В задаче Кеплера существует особенность: конец вектора импульса всегда движется по окружности — Гл. 3. Анализ траекторий с помощью полярных диаграмм, с. 42.. — Задача 4.9. Свойства орбит в пространстве скоростей, с. 88.. Из-за расположения этих кругов, для заданной полной энергии , задача Кеплера математически эквивалентна задаче о частице, свободно перемещающейся в четырёхмерной сфере . Согласно этой математической аналогии, сохраняющийся вектор Лапласа — Рунге — Ленца соответствует дополнительным компонентам углового момента в четырёхмерном пространстве.
Вектор Лапласа — Рунге — Ленца также известен как вектор Лапласа, вектор Рунге — Ленца и вектор Ленца, хотя ни один из этих учёных не был его первооткрывателем. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца переоткрывался несколько раз. Он также эквивалентен безразмерному вектору эксцентриситета в небесной механике. Для него также нет никакого общепринятого обозначения, хотя обычно используется символ . Для различных обобщений вектора Лапласа — Рунге — Ленца, которые будут определены ниже, используется символ .
Контекст Для одиночной частицы, движущейся под воздействием любой консервативной центральной силы, существуют по крайней мере четыре интеграла движения (сохраняющиеся величины): полная энергия и три компоненты вектора углового момента . Орбита частицы лежит в плоскости, определяемой начальным импульсом частицы или скоростью и её радиус-вектором (рис. 1). Эта плоскость перпендикулярна постоянному вектору , что можно выразить математически с помощью скалярного произведения .
Как указано ниже, вектор Лапласа — Рунге — Ленца всегда находится в плоскости движения, то есть равенство выполняется для любой центральной силы. Он также является постоянным только для силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния. Если центральная сила приближённо зависит от обратного квадрата расстояния, вектор является почти постоянным по длине, но медленно вращается. Для большинства центральных сил этот вектор не постоянен и изменяет как длину, так и направление. Обобщённый сохраняющийся вектор Лапласа — Рунге — Ленца может быть определён для всех центральных сил, но этот вектор представляет собой сложную функцию положения и обычно не выражается аналитически в элементарных или специальных функциях.
История Вектор Лапласа — Рунге — Ленца является сохраняющейся величиной в задаче Кеплера и полезен при описании астрономических орбит, например движения планеты вокруг Солнца. Однако он никогда не был широко известен среди физиков, возможно, потому что он менее интуитивно понятен, чем импульс и угловой момент. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца независимо открывали несколько раз за прошедшие три столетия. Якоб Герман был первым, кто показал, что вектор сохраняется для специального случая центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния, и нашёл его связь с эксцентриситетом эллиптической орбиты. Работа Германа была обобщена до её современной формы Иоганном Бернулли в 1710 году. В свою очередь, Пьер-Симон Лаплас в конце XVIII столетия заново открыл сохранение вектора , доказав это аналитически, а не геометрически, как его предшественники — P. 165ff..
В середине XIX века Уильям Гамильтон получил эквивалент вектора эксцентриситета, определённый ниже, и использовал его, чтобы показать, что конец вектора импульса движется по кругу под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния (рис. 3). В начале XX столетия Уиллард Гиббс нашёл тот же самый вектор с помощью векторного анализа — P. 135.. Карл Рунге использовал вывод Гиббса в популярном немецком учебнике по векторам в качестве примера, на который ссылался Вильгельм Ленц в своей статье о квантовомеханическом рассмотрении атома водорода.
В 1926 году этот вектор применил Вольфганг Паули для вывода спектра атома водорода, используя современную матричную квантовую механику, а не уравнение Шрёдингера. После публикации Паули вектор стал известен как вектор Рунге — Ленца.
Математическое определение
Для одиночной частицы, движущейся под воздействием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния и описываемой уравнением , вектор Лапласа — Рунге — Ленца определён математически формулой
где — масса точечной частицы, движущейся под воздействием центральной силы, — вектор импульса, — вектор углового момента, — параметр, описывающий величину центральной силы, — единичный вектор, то есть , где — радиус-вектор положения частицы, и — его длина.
Поскольку предполагается, что сила консервативная, то полная энергия системы сохраняется
Из центральности силы следует, что вектор углового момента также сохраняется и определяет плоскость, в которой движется частица. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца перпендикулярен вектору углового момента и, таким образом, находится в плоскости орбиты. Уравнение верно, потому что векторы и перпендикулярны .
Это определение вектора Лапласа — Рунге — Ленца применимо для одиночной точечной частицы с массой , движущейся в стационарном (не зависящем от времени) потенциале. Кроме того, это определение может быть применено к задаче двух тел, такой как задача Кеплера, если заменить на приведённую массу этих двух тел и на вектор между ними.
Круговой годограф импульса
Сохранение вектора Лапласа — Рунге — Ленца и вектора углового момента используется в доказательстве того, что конец вектора импульса движется по окружности под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния. Вычисляя векторное произведение и , получается уравнение для
Направляя вектор вдоль оси , а главную полуось — вдоль оси , получаем уравнение
Другими словами, конец вектора импульса движется по окружности радиуса , центр которой расположен в точке с координатами . Эксцентриситет равен косинусу угла , показанного на рис. 2. Для краткости вводится переменная . Круговой годограф полезен для описания симметрии задачи Кеплера.
Интегралы движения и суперинтегрируемость Семь скалярных величин — энергия и компоненты векторов Лапласа — Рунге — Ленца и момента импульса — связаны двумя соотношениями. Для векторов выполняется условие ортогональности , а энергия входит в выражение для квадрата длины вектора Лапласа — Рунге — Ленца, полученного выше . Тогда существует пять независимых сохраняющихся величин, или интегралов движения. Это совместимо с шестью начальными условиями (начальное положение частицы и её скорость являются векторами с тремя компонентами), которые определяют орбиту частицы, так как начальное время не определено интегралами движения. Поскольку величину (и эксцентриситет орбиты ) можно определить из полного углового момента и энергии , утверждается, что независимо сохраняется только направление . Кроме того, вектор должен быть перпендикулярным — это приводит к одной дополнительной сохраняющейся величине.
Механическая система с степенями свободы может обладать максимум 2-1 интегралами движения, поскольку имеется 2 начальных условий, а начальное время не может быть определено из интегралов движения. Система с более чем интегралами движения называется суперинтегрируемой, а система с 2-1 интегралами называется максимально суперинтегрируемой. Поскольку решение уравнения Гамильтона — Якоби в одной системе координат может привести только к интегралам движения, то переменные должны разделяться для суперинтегрируемых систем в больше чем одной системе координат. Задача Кеплера максимально суперинтегрируема, так как она имеет три степени свободы () и пять независимых интегралов движения; переменные в уравнении Гамильтона — Якоби разделяются в сферических координатах и параболических координатах — § 15. Кеплерова задача, «сохраняющийся вектор», с. 56; § 52. Условно-периодическое движение, задача с решением в полярных координатах, с. 217., как описано ниже. Максимально суперинтегрируемые системы могут быть квантованы с использованием только коммутационных соотношений, как показано ниже.
Уравнение Гамильтона — Якоби в параболических координатах Постоянство вектора Лапласа — Рунге — Ленца можно вывести, используя уравнение Гамильтона — Якоби в параболических координатах , которые определяются следующим образом:
где — радиус в плоскости орбиты. Обратное преобразование этих координат запишется в виде:
Разделение переменных в уравнении Гамильтона — Якоби в этих координатах даёт два эквивалентных уравнения:
где — интеграл движения. Посредством вычитания этих уравнений и выражения в терминах декартовых координат импульса и можно показать, что эквивалентен вектору Лапласа — Рунге — Ленца
Этот подход Гамильтона — Якоби может быть использован для вывода сохраняющегося обобщённого вектора Лапласа — Рунге — Ленца в присутствии электрического поля
где — заряд обращающейся частицы.
Альтернативная формулировка В отличие от импульса и углового момента , для вектора Лапласа — Рунге — Ленца нет общепринятого определения. В научной литературе используются несколько различных множителей и символов. Самое общее определение даётся выше, но другое определение возникает после деления на постоянную , чтобы получить безразмерный сохраняющийся вектор эксцентриситета
где — вектор скорости. Направление этого масштабированного вектора совпадает с направлением , и его амплитуда равна эксцентриситету орбиты. Мы получим другие определения, если поделить на :
или на
который имеет ту же размерность, что и угловой момент (вектор ). В редких случаях знак вектора Лапласа — Рунге — Ленца может быть изменён на противоположный. Другие общие символы для вектора Лапласа — Рунге — Ленца включают , , , и . Однако выбор множителя и символа для вектора Лапласа — Рунге — Ленца не влияет на его сохранение.
Альтернативный сохраняющийся вектор, бинормаль — вектор был изучен Уильямом Гамильтоном
который сохраняется и направлен вдоль малой полуоси эллипса. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца является векторным произведением и (рис. 3). Вектор обозначен как бинормаль, так как он перпендикулярен как , так и . Подобно вектору Лапласа — Рунге — Ленца, вектор бинормали можно определить с различными множителями.
Два сохраняющихся вектора и можно объединить в сохраняющийся двухэлементный тензор
где обозначает тензорное произведение, а и — произвольные множители. Записанное в компонентной записи, это уравнение читается так