Алгебраическая связность графа G — это второе из минимальных собственных значений матрицы Кирхгофа графа GWeisstein, Eric W. «Algebraic Connectivity .» На сайте MathWorld.. Это значение больше нуля в том и только в том случае, когда граф G является связным. Это следствие того факта, что сколько раз значение 0 появляется в качестве собственного значения матрицы Кирхгофа, из стольких компонент связности состоит граф. Величина этого значения отражает насколько хорошо связен весь граф и используется для анализа устойчивости и синхронизации сетей.

Свойства

Алгебраическая связность графа G больше 0 в том и только в том случае, если G является связным. Более того, значение алгебраической связности ограничено сверху обычной (вершинной) связностью графа, стр. 314.. Если число вершин связного графа равно n, а диаметр равен D, алгебраическая связность, как известно, ограничена снизу числом , стр. 571., и фактически, как показал , значением стр. 871—898.. Для примера, приведённого выше, 4/18 = 0,222 ≤ 0,722 ≤ 1, но для многих больших графов алгебраическая связность много ближе к нижней границе, чем к верхней.

В отличие от обычной связности алгебраическая связность зависит как от числа вершин, так и от способа их соединения. В случайных графах алгебраическая связность уменьшается с ростом числа вершин и растёт с увеличением средней степениSynchronization and Connectivity of Discrete Complex Systems , Michael Holroyd, International Conference on Complex Systems, 2006..

Точное определение алгебраической связности зависит от типа используемой матрицы Кирхгофа. разработала обширную теорию, в которой используется нормированные матрицы Кирхгофа, что избавляет значения от числа вершин, так что границы становятся несколько другими.

В моделях синхронизации в сетях, таких как , матрица Кирхгофа возникает естественным образом, так что алгебраическая связность показывает насколько просто сеть будет синхронизироватьсяTiago Pereira, Stability of Synchronized Motion in Complex Networks ,arXiv:1112.2297v1, 2011.. Однако могут быть использованы и другие показатели, такие как среднее расстояние (характеристика длины пути), и фактически алгебраическое расстояние тесно связано со средней дистанцией (точнее обратной ей величиной).

Алгебраическая связность также связана с другими характеристиками связности, такими как изопериметрическое число, которое ограничено снизу половиной значения алгебраической связности, стр. 28, 58..

Вектор Фидлера Первоначально теория, связанная с алгебраической связностью, разработана чешским математиком . В его честь собственный вектор, соответствующий алгебраической связности, носит имя вектор Фидлера. Вектор Фидлера можно использовать для разбиения графа.

Для графа из вводного раздела вектором Фидлера будет <0,415; 0,309; 0,069; −0,221; 0,221; −0,794>. Отрицательные значения соответствуют плохо связанной вершине 6 и соседней точке сочленения, вершине 4, а положительные значения соответствуют остальным вершинам. Знак элементов вектора Фидлера таким образом можно использовать для разбиения графа на две компоненты — {1, 2, 3, 5} и {4, 6}. Или можно значение 0,069 (находящееся ближе всего к нулю) поместить в свой собственный класс, разбив граф на три компоненты — {1, 2, 5}, {3} и {4, 6}.

См. также Связность Инвариант графа

Примечания

Литература

Категория:Алгебраическая теория графов Категория:Инварианты графов