Проекти́вное простра́нство над полем — пространство, состоящее из прямых (одномерных подпространств) некоторого линейного пространства над данным полем. Прямые пространства называются точками проективного пространства. Это определение поддаётся обобщению на произвольное тело . Для полей или , и тела соответствующее проективное пространство называется вещественным , комплексным или кватернионным соответственно.
Переход от векторного пространства к соответствующему проективному пространству называется проективизацией. Точки можно описывать с помощью однородных координат.
Определение как факторпространства Отождествляя точки , где отлично от нуля, мы получим фактормножество (по отношению эквивалентности ) . Точки проективного пространства обозначаются как , где числа называются однородными координатамиКострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, ч. 3, пар. 6, : Наука 1986. Например, и обозначают одну и ту же точку проективного пространства.
Аксиоматическое определение Проективное пространство может быть также определено системой аксиом типа гильбертовской. В этом случае проективное пространство определяется как система, состоящая из множества точек , множества прямых и отношения инцидентности , которое обычно выражается словами «точка лежит на прямой», удовлетворяющая следующим аксиомам: для любых двух различных точек существует единственная прямая, инцидентная обеим точкам; каждая прямая инцидентна не менее чем трём точкам; если прямые и пересекаются (имеют общую инцидентную точку), точки и лежат на прямой , а точки и — на прямой , то прямые и пересекаются.
Подпространством проективного пространства называется подмножество множества , такое что для любых из этого подмножества все точки прямой принадлежат . Размерностью проективного пространства называется наибольшее число , такое что существует строго возрастающая цепочка подпространств вида .
Классификация Размерность 0: пространство состоит из единственной точки. Размерность 1 (проективная прямая): произвольное непустое множество точек и единственная прямая, на которой лежат все эти точки. Размерность 2 (проективная плоскость): в этом случае классификация является более сложной. Все плоскости вида для некоторого тела удовлетворяют аксиоме Дезарга, однако существуют также недезарговы плоскости. Большие размерности: согласно теореме Веблена — Юнга,Veblen, Oswald; Young, John Wesley. Projective geometry. Vols. 1, 2, Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co. New York-Toronto-London, 1965 (Reprint of 1910 edition) любое проективное пространство размерности более двух может быть получено как проективизация модуля над некоторым телом.
Связанные определения и свойства Пусть есть гиперплоскость в линейном пространстве . Проективное пространство называется проективной гиперплоскостью в . На дополнении проективной гиперплоскости существует естественная структура аффинного пространства. Обратно, взяв за основу аффинное пространство , можно получить проективное пространство как аффинное, к которому добавлены т. н. бесконечно удалённые точки. Первоначально проективное пространство и было введено таким образом. Пусть и ― два проективных подпространства. Множество называется проективной оболочкой множества и обозначается .Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, гл. 9, пар. 1, — Физматлит, Москва, 2009.
Тавтологическое расслоение Тавтологическим расслоением называется векторное расслоение, пространством расслоения которого является подмножество прямого произведения , а слоем — вещественная прямая . Каноническая проекция отображает прямую, проходящую через точки , в соответствующую точку проективного пространства. При это расслоение не является тривиальным. При пространством расслоения является лента Мёбиуса.
См. также
Плоскость Кэли
Примечания
Литература Артин Э. Геометрическая алгебра. — : Наука, 1969. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — : Наука, 1979. Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — : Наука 1986. Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. — : Мир, 1970. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009. Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — М.: Наука, 1990. Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. — М.: УРСС, 2004. Фиников С. П. Аналитическая геометрия: Курс лекций. — М.: УРСС, 2008.
Категория:Алгебраическая геометрия Категория:Проективная геометрия