Теорема Лопита́ля (также правило Бернулли — Лопиталя) — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Точная формулировка Пусть функции и :
дифференцируемы в проколотой окрестности точки , где либо удовлетворяют одному из двух условий: или во всей проколотой окрестности существует предел (конечный или бесконечный)
Тогда существует и предел исходного отношения:
Теорема применима также для односторонних пределов.
История Метод раскрытия неопределённостей был опубликован в учебнике 1696 года за авторством Гийома Лопиталя. Однако сам метод был открыт Иоганном Бернулли Paul J. Nahin, An Imaginary Tale: The Story of , p.216 и сообщён Лопиталю в личном письме.
Доказательство Случай для конечной точки
Рассмотрим предел , , при условии .
Доопределим функции в точке , положив . Тогда и непрерывны на отрезке с концами и и дифференцируемы внутри него для всех из окрестности .
По обобщённой теореме Лагранжа (теореме Коши о среднем значении) для любого из окрестности существует точка , лежащая строго между и , такая что:
Заметим, что вблизи . Если бы для некоторого , то по теореме Ролля нашлась бы точка между и , где , что противоречит условию.
При точка (так как лежит между и ). Поэтому: Зорич В. А., с. 230.
Случай для конечной точки
Пусть при . Выберем некоторую точку вблизи для которой:
По теореме Коши для отрезка с концами и существует между ними, такое что:
Поскольку , при второй множитель стремится к . Поэтому: Зорич В. А., с. 230–232.
Другие неопределённости
Правило Лопиталя напрямую применяется только к и , однако остальные неопределённости сводятся к ним алгебраически.
Примеры
Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, но в данном случае проще разделить числитель и знаменатель на в наибольшей степени (в нашем случае ):
— применение правила раз; при ; .
Контрпример Правило Лопиталя применимо только когда предел отношения производных существует. Если он не существует, это не означает, что не существует исходный предел.
Пример:
тогда как предел отношения производных
не существует (косинус не имеет предела при ) Таким образом, отсутствие предела у не является основанием для вывода об отсутствии предела у .
Следствие Простое, но полезное следствие правила Лопиталя — признак дифференцируемости функций, состоит в следующем:
Пусть функция непрерывна в точке , дифференцируема в проколотой окрестности этой точки, и существует конечный предел производной:
.
Тогда функция дифференцируема и в самой точке , и (то есть, производная непрерывна в точке ).
Доказательство. Применим правило Лопиталя к отношению . Числитель и знаменатель стремятся к при , поэтому:
Связь с рядом Тейлора
Если функции и разложимы в ряд Тейлора в окрестности точки , предел можно вычислить посредством сравнения главных членов разложений.
Пример:
Правило Лопиталя и разложение Тейлора дают один и тот же результат, однако разложение Тейлора нередко эффективнее для сложных выражений, поскольку сразу показывает порядок малости.
См. также
Теорема Ролля Теорема Коши о среднем значении Ряд Тейлора Теорема Штольца. Аналог правила Лопиталя для числовых последовательностей Раскрытие неопределённостей Бесконечно малая функция
Примечания
Литература
Лопиталя Категория:Пределы Лопиталя